第一章信号与系统

1、信号与系统凌凌 云云20152015年春季学期年春季学期上课时间n117周n星期一 （石6-306） 3-4节n星期三 （C6-308）1-2节n考试课，有期中考试和期末考试，闭卷教材与参考书1、信号与线性系统分析 吴大正 高等教育出版社2、信号与系统（第二版）上、下册 郑君里 应启珩 杨为理 高等教育出版社3、信号与系统 Alanv.Oppenheim Alans.Willsky 电子工业出版社出版社 信号与系统课程简介1、课程地位、课程地位 信号与系统信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也工程等专业的

2、一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是电子、通信、信号与信息处理等专业研究生入学考试的是电子、通信、信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。必考课程。 2、主要研究的内容及课时安排、主要研究的内容及课时安排 该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法。从连续到经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法。从连续到离散、从时域到变换域、从输入输出分析到状态变量分析，离散、从时域到变换域、从输入输出分析到状

3、态变量分析，共八章。共八章。 相关课程前修课程： 高等数学 线性代数 电路分析后续课程 数学信号处理 通信原理 模拟电路 历史历史历史历史历史 赫兹、波波夫、马可尼等对电磁波传输无线电信号进行研究。 卫星通信为基础的全球定位系统（GPS）可以利用无线电信号传输、测定地球表面和周围空间的目标的位置。 现代通信系统的通信方式不是任意两点之间信号的直接传输，而是利用集中转接设施的复杂信息网络，经所谓“交换”的功能实现两点间信号的传输。导论消息（消息（Message）：运动或状态变化的直接反映、待传：运动或状态变化的直接反映、待传输与处理的原始对象。输与处理的原始对象。信号（信号（Signal）：）：

4、指消息的表现形式与传送载体。指消息的表现形式与传送载体。信息（信息（Information）：）：一般指消息中赋予人们的新知一般指消息中赋予人们的新知识、新概念。识、新概念。信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送送内容。例如电信号传送声音声音、图像、文字等。、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。磁通等。 一、信号的基本概念1. 定义定义广义广义: 信号是随时间变化的某种物理量。信号是随时间变化的某种物理量。 严格严格: 信号是消息的表现形

5、式与传送载体。信号是消息的表现形式与传送载体。 电信号通常是随时间变化的电压或电流。电信号通常是随时间变化的电压或电流。 2. 表示表示数学解析式或图形数学解析式或图形信号的定义语音信号：空气压力随时间变化的函数静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。),(),(),(),(yxIyxIyxIyxIBGR概念引申：信号传输（transmission）、信号交换（switching）、信号处理（processing）本课程的内容正是为研究这些领域提供基础知识和基本分析方法二、系统的概念二、系统的概念 信号的

6、产生、传输和处理需要一定的信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。物理装置，这样的物理装置常称为系统。 一般而言，一般而言，系统系统是指若干相互关联的是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。事物组合而成具有特定功能的整体。系统的基本作用系统的基本作用是是对输入信号进行加对输入信号进行加工和处理，将其转工和处理，将其转换为所需要的输出换为所需要的输出信号。信号。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。象、文字等都可以看成信

7、号。二、信号的分类按实际用途划分： 电视信号 雷达信号 控制信号 通信信号 广播信号 按所具有的时间特性划分按实际用途划分：电视信号雷达信号控制信号通信信号广播信号按所具有的时间特性划分1 1 确定信号与随机信号确定信号与随机信号2.2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号3.3.周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号4.4.能量信号与功率信号能量信号与功率信号1.确定信号与随机信号确定信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。随机信号随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定确定函数。确定信号t随机信号的一个样本t2. 连续信号和离散信号连续信号： 在观测过程的连续时间范围内信号有确定

8、的值。允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以f(t)表示。模拟信号：取值是连续的连续信号。离散信号： 信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以fk表示。数字信号：取值为离散的离散信号。连续时间信号与离散时间信号波形连续时间信号离散时间信号离散信号的产生1)对连续信号抽样fk=f(kT)2)信号本身是离散的3)计算机产生tf (t)1130f(t)t201-11k-22223fk判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？3 周期信号与非周期信号*连续时间周期信号定义: 在定义域上 ,存在非零T，使得 *周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号周期信号每一周

9、期内信号完全一样故只需研究信号 在一个周期内的状况。在一个周期内的状况。)()(tfTtf成立，则f(t) 为周期信号。*离散时间周期信号定义: kI , 存在非零N，使得成立，则fk 为周期信号。满足上述条件的最小的正最小的正T、正、正N称为信号的基本周期。kfNkf*不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。例题4 能量信号与功率信号信号的瞬时功率：RtiRtutituP)()()()(22 t1,t2上的平均功率：dttittPtt21221)(1 取R1， t1,t2上的能量：dttidttiEtttt222121)()( 信号的能量：信号的能量：信号的功率：信号的功率：dttfETTT

10、2)(lim dttfTPTTT2)(21lim 根据上述定义将信号f(t)分为三种类型： E为有限值，P 为0 E为 ，P 为有限值 E，P 为能量信号功率信号非能量非功率信号直流信号与周期信号都是功率信号。 注意注意: : 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。例题二、系统的概念二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。物理装置，这样的物理装置常称为系统。 一般而言，一般而言，系统系统是指若干相互关联的是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。事物组合而成具有特定功能的整体。系统的描述及其分类系统的描述

11、系统的数学模型 系统的方框图表示系统的分类连续时间系统与离散时间系统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统1.2 1.2 信号的描述及分类信号的描述及分类信号的基本概念信号的基本概念电信号电信号 通常是随时间变化的电压或电流。通常是随时间变化的电压或电流。广义广义：信号是随时间变化的某种物理量（如信号是随时间变化的某种物理量（如温度、电流、某地区一段时间内人口的变化温度、电流、某地区一段时间内人口的变化量）量）严格：信号是消息的表现形式与传送载体严格：信号是消息的表现形式与传送载体定义定义表示：数学解析式或图形表示：数学解析式或图形电流或电压信

12、号是以时间为自变量的函数，如电流或电压信号是以时间为自变量的函数，如 tsin图像信号可以用图形表示，也可以用由两个自图像信号可以用图形表示，也可以用由两个自变量定义的二维函数表示，如变量定义的二维函数表示，如f(x,y)。1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算一、加法和乘法一、加法和乘法1、信号、信号f1()与与f2()之和之和:例：求下列两信号之和。例：求下列两信号之和。0 4 t2f1(t)0 4 t2f2(t) 21fff 2211 ttf ttf212 221 tftftf0t40t40t 0 tetft sin， t 00 t f(t) 2二、反转和平移二、反转和平移1、将信

13、号、将信号f(t)反转：即信号的自变量反转：即信号的自变量t换为换为-t，从图形上反映出来是将从图形上反映出来是将f(t)以纵坐标为轴反转。以纵坐标为轴反转。例：例：2、将信号将信号f(t)平移平移对连续信号对连续信号f(t)，若有常数，若有常数t00，则信号，则信号f(t-t0)是将原信号沿正轴平移是将原信号沿正轴平移t0时间，而时间，而f(t+t0)是将原是将原信号向负信号向负t轴方向移动轴方向移动t0时间。时间。将反转和平移相结合，可得到将反转和平移相结合，可得到f(-t-t0)的波形。的波形。方法是：先将方法是：先将f(t)平移，得到平移，得到f(t-t0)；再将；再将f(t-t0)的

14、自变量的自变量t变为变为-t，即沿，即沿y轴反转，得到轴反转，得到f(-t-t0)。三、尺度变换三、尺度变换用变量用变量at替代原信号的自变量替代原信号的自变量t，得到的信号就是，得到的信号就是将原信号沿横轴进行展缩。将原信号沿横轴进行展缩。若若a1，表示将原信号沿横轴压缩到原来的，表示将原信号沿横轴压缩到原来的1/a；若若0atttt t0t)(0ttu0t1单位阶跃信号作用TT21t)(tf)(a1 1表示任意的方波脉冲信号表示任意的方波脉冲信号f(t)=(t-T)-u(t-2T)单位阶跃信号作用单边特性单边特性t00sin( )tt ( )(1)?tettn利用阶跃信号的单边性表示信号的

15、时间范围)()(sin00tutt)()(sin000ttutt0tt0)(sin0tutt0)(sin00ttut0tt00tt0信号的表示与表达 （课后题）2、冲激函数、冲激函数对对n(t)求导，得：求导，得： ntntntnnttn111122110 ntntnnnttpn1011210-1/n 0 1/n tn/2-1/n 0 1/n t11/2n(t)-1/n 1/npn(t)0 t1(t)0 t t (1) n时时-1/n 0 1/n tn/2t=0处脉冲幅值趋于处脉冲幅值趋于 ，脉冲面积仍为，脉冲面积仍为1，称为，称为冲激函数的强度，用冲激函数的强度，用(1)表示。表示。定义：定

16、义： t def tpnn lim实际上，有许多函数序列的极限都是冲激函数。如实际上，有许多函数序列的极限都是冲激函数。如高斯函数序列，取样函数序列，双边指数函数序列。高斯函数序列，取样函数序列，双边指数函数序列。物理意义：冲激函数可看作是强度非常大而作用时物理意义：冲激函数可看作是强度非常大而作用时间非常短的物理量的理想模型。比如乒乓球运动员间非常短的物理量的理想模型。比如乒乓球运动员的扣球，球与球拍的接触时间非常短，但球的冲量的扣球，球与球拍的接触时间非常短，但球的冲量是一个有限值（相当于冲激函数的强度），可把球是一个有限值（相当于冲激函数的强度），可把球拍对球的作用力看成无限大（相当于冲

17、激函数的幅拍对球的作用力看成无限大（相当于冲激函数的幅度）。度）。冲激函数的另一种定义冲激函数的另一种定义狄拉克定义：狄拉克定义： 10, 0dtttt 阶跃函数与冲激函数的定义不同于普通函数，我阶跃函数与冲激函数的定义不同于普通函数，我们称这类函数为奇异函数。这类函数在今后处理们称这类函数为奇异函数。这类函数在今后处理信号，分析系统时将起到很大的帮助。信号，分析系统时将起到很大的帮助。冲激信号(tt0) 其波形如何？k(t) 其波形如何？二、冲激函数的导数和积分二、冲激函数的导数和积分由于冲激函数是奇异函数，其导数的定义也不同由于冲激函数是奇异函数，其导数的定义也不同于一般函数，是通过对别的

18、函数的作用而定义的。于一般函数，是通过对别的函数的作用而定义的。 冲激函数的一阶导数冲激函数的一阶导数 t 0 dttt冲激信号的微分冲激信号的微分-冲激偶冲激偶定义：定义：)()(tdttd)(tt0n冲激信号的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 表示。( ) t)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0d ( )ds tt21210t00 冲激函数的积分：冲激函数的积分：由前述冲激函数的定义可知，它是阶跃函数的由前述冲激函数的定义可知，它是阶跃函数的导数。因此，冲激函数的积分是阶跃函数。即：导数。因此，冲激函数的积分是阶跃函数。即： dxxtt 冲激信

19、号的微积分冲激信号与阶跃信号的关系冲激信号与阶跃信号的关系tttd0 00 1)( ) t( )dtdt)(t冲激信号的积分（1）)(tt01t0(t)冲激信号的积分00()d()tttt 00d()()dttttt 阶跃函数的积分：阶跃函数的积分：由阶跃函数的定义：由阶跃函数的定义： 0001ttt 可得其积分：可得其积分： ttttdxx000 称此函数为斜升称此函数为斜升(斜变斜变)函数，记为函数，记为r(t)。冲激函数的各阶导数与积分都是冲激函数的各阶导数与积分都是奇异函数奇异函数。三、阶跃函数与冲激函数的性质三、阶跃函数与冲激函数的性质1、阶跃函数的一些性质、阶跃函数的一些性质 (t

20、)与普通函数相乘相当于将此函数从与普通函数相乘相当于将此函数从t=0处开始截取。处开始截取。 可用阶跃函数的组合来表示矩形脉冲。可用阶跃函数的组合来表示矩形脉冲。 由上述性质，进一步可见如果要表示定义域由上述性质，进一步可见如果要表示定义域有限的信号，都可利用阶跃信号。有限的信号，都可利用阶跃信号。例例2：写出下列波形的表达式。：写出下列波形的表达式。 与普通函数的乘积与普通函数的乘积 tfttf 0 0fdtttf 性质性质也称为冲激函数的取样性质，即也称为冲激函数的取样性质，即 t 从从f(t)中取出函数值中取出函数值f(0)。2、冲激函数的一些性质、冲激函数的一些性质冲激信号的性质( )

21、 ( )(0) ( )f ttft)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf（1）筛选特性）筛选特性 冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。 化简例如：化简例如：)()()()(000tttftttf2(2)?tet tftfttf 00 0fdtttf 冲激信号的性质( )( )( )( )atatttetttet 移位移位冲激函数也可象普通函数一样进行基本运算，冲激函数也可象普通函数一样进行基本运算，如移位。如移位。 1tt 表示将冲激函数沿横坐标移动到表示将冲激函数沿横坐标移动到t1位置。位置。

22、0 t1 t 1tt (1)同理：同理： 111tttftttf 11tfdttttf 11111tttftttftttf 11tfdttttf 定义了阶跃函数与冲激函数这一类奇异函数后，定义了阶跃函数与冲激函数这一类奇异函数后，对于在有限时刻点上有间断点的信号的求导带来对于在有限时刻点上有间断点的信号的求导带来了方便。了方便。例：函数例：函数f(t)如图示，求其导数如图示，求其导数f(t)。该函数的数学解析式可表示为：该函数的数学解析式可表示为： 303223, 00tttttf用阶跃函数来表示：用阶跃函数来表示： 3322 ttttf 342332 tttttf 从波形上来看：从波形上来看

23、：(2)(-4)0 3 t tf 对具有有限个间断点对具有有限个间断点的函数进行求导时，的函数进行求导时，从波形上来看：首先从波形上来看：首先将各分段函数分别求将各分段函数分别求导；在间断点处的导导；在间断点处的导数一般都是冲激函数，数一般都是冲激函数，其强度可由下式计算：其强度可由下式计算： iitftf例题 计算下列各式的值) 1()()8(2ttuet)22()7(4tet)2() 32)(6(23ttt222) 13()3()5(dttttdttt)4()sin() 1 (642)8()3(dttet325) 1()2(dttetdttet)22()4(2/2)4sin()4()sin

24、() 1 (dttt51 5325/1) 1()2(eedttet0)8() 3(642dttetedttedttett21) 1(21)22()4(0) 3(3)3() 13()3()5(222222dttttdtttt)2(19)2() 3222()2() 32)(6(2323ttttt) 1(21) 1(21) 1(21)22()7(4(-1) 444tetetetett0) 1(0) 1() 1() 1()()8(-1) 22ttuettuet四、单位阶跃序列与单位序列四、单位阶跃序列与单位序列冲激函数与阶跃函数在连续系统的分析中具有非冲激函数与阶跃函数在连续系统的分析中具有非常重要的

25、地位。对于离散系统的分析来说，也有常重要的地位。对于离散系统的分析来说，也有两个地位与它们相类似的函数：单位序列和单位两个地位与它们相类似的函数：单位序列和单位阶跃序列。阶跃序列。1、单位阶跃序列：、单位阶跃序列： k 0, 100kk，def10 1 2 3 k k 移位后的单位阶跃序列：移位后的单位阶跃序列： ikikik, 10， 10 i i+1 k ik 单位阶跃序列和普通序列相乘相当于将普通序列从单位阶跃序列和普通序列相乘相当于将普通序列从k=0处开始截取。处开始截取。2、单位序列（单位样值序列、单位序列（单位样值序列/单位脉冲序列）：单位脉冲序列）： k def 0, 00, 1

26、kk1 k 0 k移位后的单位序列：移位后的单位序列： ikikik, 0, 1 1 ik 0 i k3、 k 与与 k 的关系的关系 1 kkk kiik 单位阶跃序列也可看作是单位序列经过一系列移单位阶跃序列也可看作是单位序列经过一系列移位后的和。即：位后的和。即： 0jjkk 1.5 1.5 系统的描述系统的描述要分析一个系统，首先要建立描述该系统的数学要分析一个系统，首先要建立描述该系统的数学模型。按照数学模型的不同，系统可分为：模型。按照数学模型的不同，系统可分为：即时系统与动态系统：即时系统与动态系统：系统在任意时刻的响应是否仅决定于该时刻的激系统在任意时刻的响应是否仅决定于该时刻

27、的激励，而与过去的历史状况无关。励，而与过去的历史状况无关。连续系统与离散系统：连续系统与离散系统：系统所处理的信号是否是连续的。系统所处理的信号是否是连续的。线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统时变系统与时不变系统这里主要讨论的是动态、线性、时不变系统。这里主要讨论的是动态、线性、时不变系统。一、系统的数学模型一、系统的数学模型描述连续系统的数学模型是微分方程，描述离散描述连续系统的数学模型是微分方程，描述离散系统的数学模型是差分方程。系统的数学模型是差分方程。例例1：RLC串联电路如图所示。已知串联电路如图所示。已知Us(t)，求，求Uc(t)()()()(tutu

28、tutuSCRL由KVL定律得：)()()()()()()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtiCLCRC 各元件电压、电流关系：代入整理得：)(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtuSCCC 例例2 下图所示电阻梯形网络中，各串臂电阻均为下图所示电阻梯形网络中，各串臂电阻均为R，各并臂电阻均为各并臂电阻均为aR。将各结点依次编号，其序号为。将各结点依次编号，其序号为k（k=0,1,2,N），相应结点电压为），相应结点电压为u(k)，试列，试列出关于出关于u(k)的差分方程。的差分方程。U(k)U(k+1)U(k+2)aibici0+ -+ -+-U(k)U(k+1)U(k

29、+2)aibici0+ -+ -+-由KVL定律得：) 1()(kuRikuaaRkuiRkukuiiiicbcba) 1()2() 1(电压、电流关系：0)() 1() 12()2(kaukuakau代入整理得：二、系统的框图表示二、系统的框图表示除了可以用数学模型来描述系统外，还可用框除了可以用数学模型来描述系统外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系。图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系。用框图表示的系统更注重系统的功能，即输入用框图表示的系统更注重系统的功能，即输入输出的关系。输出的关系。一个框图可以表示一个具有某种功能的部件，一个框图可以表示一个具有某种功能的部件，也

30、可表示一个子系统。也可表示一个子系统。表示系统功能的常用基本单元：表示系统功能的常用基本单元：积分器积分器 tf tdxxfty 1f 2f 21ff加法器加法器a f fa数乘器数乘器D kf 1 kfky迟延单元迟延单元T tf Ttfty 延时器延时器例例1：某连续系统框图如图示，写出该系统的微分：某连续系统框图如图示，写出该系统的微分方程。方程。 a0a1+ tf ty ty ty 左边加法器的输出：左边加法器的输出： tftyatyaty 01整理后得：整理后得： tftyatyaty 01例例2：某连续系统如图示，写出该系统的微分方程。：某连续系统如图示，写出该系统的微分方程。a0

31、a1 + tf tyb1b2b0+ tx tx tx )()()()(01txatxatftx ) 1 ()()()()(01tftxatxatx )2()()()()() 1 ()()()()(01201txbtxbtxbtytftxatxatx )()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 例例3：离散系统如图示，求该系统的差分方程。：离散系统如图示，求该系统的差分方程。a0a1D+ kf kyb2b0+D kx 1 kx 2 kx)()2() 1()(01kfkxakxakx) 1 ()()2() 1()(01kfkxakxakx)2()2()()() 1 ()(

32、)2() 1()(0201kxbkxbkykfkxakxakx)2()()2() 1()(0201kfbkfbkyakyaky列写系统微分或差分方程的一般步骤：列写系统微分或差分方程的一般步骤：(1) 选取中间变量选取中间变量。对连续系统，设其最右端积。对连续系统，设其最右端积分器输出为分器输出为x(t)；对离散系统，设其最左端迟延；对离散系统，设其最左端迟延单元的输入为单元的输入为x(k)。(2) 写出左右加法器输出信号的方程写出左右加法器输出信号的方程；(3) 用输出信号及其各阶导数（差分）去用输出信号及其各阶导数（差分）去代替代替左左边加法器输出信号方程的边加法器输出信号方程的中间变量中

33、间变量和其各阶导数和其各阶导数（差分）；用输入信号及其各阶导数（差分）去（差分）；用输入信号及其各阶导数（差分）去代替右边加法器输出信号方程的中间变量和其各代替右边加法器输出信号方程的中间变量和其各阶导数（差分）。阶导数（差分）。1.6 1.6 系统的性质系统的性质连续或离散的动态系统，按其基本特性可分为连续或离散的动态系统，按其基本特性可分为线性的与非线性的；时变的与非时变的；因果线性的与非线性的；时变的与非时变的；因果的与非因果的等等。本节将主要讨论这三种性的与非因果的等等。本节将主要讨论这三种性质。质。一、线性一、线性系统的激励系统的激励 f()和响应和响应 y()之间的关系可记为：之间

34、的关系可记为： fTy其中其中T为算子，表示对激励为算子，表示对激励 f 所作的变换；所作的变换；系统的线性包含系统的线性包含齐次性齐次性和和可加性可加性： 齐次性：齐次性： fTfT 或写为：或写为： yf若若 yf 则则 可加性：可加性：若若 11yf 22yf则则 2121yyff如果某系统既满足齐次性又满足可加性，则此系如果某系统既满足齐次性又满足可加性，则此系统即为一个线性系统。可用如下方法判断：统即为一个线性系统。可用如下方法判断：若若 11yf 22112211yyff 22yf有有则该系统为线性系统。则该系统为线性系统。对于我们所讨论的动态系统来说，系统的响应与对于我们所讨论的

35、动态系统来说，系统的响应与过去的历史激励有关。因此在某一时刻，系统的过去的历史激励有关。因此在某一时刻，系统的输出不仅取决于当前时刻的输入，而且还取决于输出不仅取决于当前时刻的输入，而且还取决于该系统的初始状态。该系统的初始状态。系统在初始时刻的状态可以用系统在初始时刻的状态可以用x(0)表示，许多情表示，许多情况下，系统响应不止由一个初始状态决定。如果况下，系统响应不止由一个初始状态决定。如果有多个初始状态，可记为：有多个初始状态，可记为：x1(0),x2(0),xn(0)，简记为简记为x(0)。这样，动态系统的响应就完全由系统的初始状态这样，动态系统的响应就完全由系统的初始状态和当前的输入

36、激励所决定和当前的输入激励所决定。如果我们所讨论的系统是线性系统，那么可以把如果我们所讨论的系统是线性系统，那么可以把系统的初始状态与当前时刻的输入看成是两种激系统的初始状态与当前时刻的输入看成是两种激励（即把初始状态也看成一个激励），那么根据励（即把初始状态也看成一个激励），那么根据线性系统的可加性：线性系统的可加性：设当输入激励为设当输入激励为0时，系统仅由初始状态引起的响应：时，系统仅由初始状态引起的响应： xyx 0零输入响应零输入响应 fytf零状态响应零状态响应当系统初始状态为当系统初始状态为0时，系统仅由当前输入引起时，系统仅由当前输入引起的响应：的响应：那么，当线性系统的初始状

37、态不为零，当前又有那么，当线性系统的初始状态不为零，当前又有输入激励的情况下，其总响应就是：输入激励的情况下，其总响应就是： fxyyy同理，如果一个线性系统有多个初始状态，其总的同理，如果一个线性系统有多个初始状态，其总的零输入响应应为各个初始状态对应的零输入响应之零输入响应应为各个初始状态对应的零输入响应之和，称为和，称为零输入线性零输入线性；如果一个线性系统有多个不同的输入激励，其总如果一个线性系统有多个不同的输入激励，其总的零状态响应应为各个激励对应的零状态响应之的零状态响应应为各个激励对应的零状态响应之和，称为和，称为零状态线性零状态线性。如何证明一个系统是线性的？如何证明一个系统是

38、线性的？再分别计算：再分别计算： tftf2211 (1)当输入激励为当输入激励为时，系统的输出，时，系统的输出，即即 tftfT2211 (2)系统输出响应的线性组合，即系统输出响应的线性组合，即 tyty2211 先假设：先假设： tytf11 tytf22及及若若(1)=(2)，则该系统是线性的。，则该系统是线性的。例：判断下列系统是否是线性的？例：判断下列系统是否是线性的？该系统的响应可以分解为两部分：该系统的响应可以分解为两部分： 0axtyx dfbtytf 0若若yx(t)与与yf(t)是线性的，则是线性的，则y(t)=yx(t)+yf(t)必定是线性系统。必定是线性系统。 df

39、baxtyt 00(1)0 t 0axtyx 是系统的零输入响应。是系统的零输入响应。要判断要判断yx(t)是否是线性系统，可以看该系统是否是否是线性系统，可以看该系统是否满足零输入线性。满足零输入线性。设设 tyxx110 tyxx220 002211xx T 002211xxa 又因为：又因为： 0022112211axaxtytyxx (1)(2)(1)=(2)，所以，所以yx(t)满足零输入线性。满足零输入线性。是系统的零状态响应。是系统的零状态响应。要判断要判断yf(t)是否是线性系统，可以看该系统是否是否是线性系统，可以看该系统是否满足零状态线性。满足零状态线性。设设 tytff

40、11 tytff 22 tftf2211 T dffbt 02211 dfbdfbtt 022011 tytyff2211 yf(t)满足零状态线性。满足零状态线性。此系统为线性系统。此系统为线性系统。 dfbtytf 0 0 t该系统也可分解为两部分：该系统也可分解为两部分： 0 xakykx kfbkyf 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 kfbxakyk 00 k(2) 0 xakykx kyxx110 kyxx220 002211xx T 002211xxak 002211xaxakk kykyxx2211 所以所以yx(k)满足零输入线性。满足零输入线性。判断零输入线性：判断

41、零输入线性： kfbkyf 0 k kykff 11设设 kykff 22 kfkf2211 T kfkfb2211 kykyff2211 而而 kfbkfb2211 yf(k)不满足零状态线性。不满足零状态线性。因此，该系统非线性系统。因此，该系统非线性系统。判断零状态线性：判断零状态线性：二、时不变性二、时不变性如果系统中各部件的参数都为常数，则称该系统如果系统中各部件的参数都为常数，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。为时不变系统，否则称为时变系统。对于时不变系统来说，系统对某个激励的响应不对于时不变系统来说，系统对某个激励的响应不会随该激励输入系统的时间而改变。即：会随该激励输入

42、系统的时间而改变。即：若若 tytf有有 00ttyttf 本书只讨论时不变的线性系统本书只讨论时不变的线性系统。3时不变系统与时变系统 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为系统的时间起点而改变，就称为时不变系统时不变系统。否则，就称。否则，就称为时变系统。为时变系统。认识认识: :电路分析上看电路分析上看: :元件的参数值是否随时间而变元件的参数值是否随时间而变 从方程看从方程看: :系数是否随时间而变系数是否随时间而变从输入输出关系看从输入输出关系看: :时不变特性T 如何判断一个系统是否是时不变系统？

43、如何判断一个系统是否是时不变系统？设设 tytf判断判断 0ttf ？ 0tty 判断前述两小题是否为时不变系统？判断前述两小题是否为时不变系统？ dfbaxtyt 00(1)0 t对于该系统来说，不管激励何时加入，零输入响对于该系统来说，不管激励何时加入，零输入响应应yx(t)=ax(0)不会改变，只要考虑零状态响应不会改变，只要考虑零状态响应是否是时不变的。是否是时不变的。即当激励即当激励f(t)延迟时间延迟时间t0接入到系统时，其零状接入到系统时，其零状态响应是否为态响应是否为yf(t-t0)。 0ttf T dtfbt 00令令x=-t0， dx=d =0时，时，x=-t0； =t时，时，x=t-t0上式上式 dxxfbttt 00 dxxfbtt 00而而 dfbttyttf 000该系统为时不变系统。该系统为时不变系统。三、因果性三、因果性因果系统是指响应不出现于激励之前的系统。即：因果系统是指响应不出现于激励之前的系统。即：对于系统：对于系统： fyf若若tt0或或kk0时，时，f()=0则则tt0或或kk0时，时，yf()=0以时间为自变量