三个正数的算术几何平均数---教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1.3 三个正数的算术几何平均数一、教学目标1探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题二、课时安排1课时三、教学重点会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值四、教学难点会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题五、教学过程（一）导入新课已知x>0，y>0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.【证明】因为x>0，y>0，所以1xy23>0,1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)3·39x

2、y.（二）讲授新课教材整理1三个正数的算术­几何平均不等式1如果a，b，cR，那么a3b3c3 3abc，当且仅当 时，等号成立2定理3：如果a，b，cR，那么 ，当且仅当 时，等号成立即三个正数的算术平均 它们的几何平均教材整理2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1a2an时，等号成立教材整理3利用基本不等式求最值若a，b，c均为正数，如果abc是定值S，那么 时，积abc有 值；如果积abc是定值P，那么当abc时，和 有最小值（三）重难点精讲题型一、证明简单的不等式例1 设a，b，c为正数，求证：(abc)227.【精

3、彩点拨】根据不等式的结构特点，运用abc3，结合不等式的性质证明【自主解答】a>0，b>0，c>0，abc3>0，从而(abc)29>0.又3>0，(abc)23·927，当且仅当abc时，等号成立规律总结：1(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看2连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致再练一题1设a，b，c为正数，求证：(abc)381.【证明】因为a，b，c为正数，所以

4、有30.又(abc)3(3)327abc0，(abc)381，当且仅当abc时，等号成立题型二、用平均不等式求解实际问题例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】根据题设条件建立r与的关系式，将它代入Ek，得到以为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值

5、【自主解答】r，Ek·.E2·sin2·cos4(2sin2)·cos2·cos23，当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan 时，等号成立h2tan ，即h时，E最大因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮规律总结：1本题的关键是在获得了Ek·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值2解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解再练一题2制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方

6、米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为r2平方米，侧面积为2rh平方米设用料成本为y元，则y30r240rh.桶的容积为，r2h，rh.y30r21010×3，当且仅当3r2时，即r时等号成立，此时h.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米当且仅当2x21x2，即x时等号成立y，y的最大值为.题型三、利用平均不等式求最值例3已知xR，求函数yx(1x2)的最大值【精彩点拨】为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2x2(1x2)2x2(1x2)(1

7、x2)2x2(1x2)(1x2)×，求出最值后再开方【自主解答】yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2)·.2x2(1x2)(1x2)2，y2.规律总结：1解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：yx(1x2)x(1x)(1x)·x(22x)·(1x).虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“”号的条件，显然x22x1x无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的2解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术­几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可再练一题3若2ab0，试求a

8、的最小值.【解】a3·3，当且仅当，即ab2时取等号所以当ab2时，a有最小值为3.（四）归纳小结平均不等式（五）随堂检测1已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3B2C12D12【解析】x2y3z6，2x4y8z2x22y23z3312.当且仅当2x22y23z，即x2，y1，z时，等号成立【答案】C2若ab0，则a的最小值为()A0 B1 C2 D.3【解析】a(ab)b33，当且仅当a2，b1时取等号，a的最小值为3.故选D.【答案】D3函数y4sin2x·cos x的最大值为_，最小值为_【解析】y216sin2 x·sin2x·cos2x8(sin2x·sin2x·2cos2x)838×，y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x±时取等号ymax，ymin.【答案】六、板书