第4章离散时间系统结构与滤波器设计2(IIR滤波器设计)

1、14.3 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计nIIR滤波器滤波器设计目的设计目的n寻找寻找系统函数系统函数nIIR滤波器通常有滤波器通常有两大类设计方法两大类设计方法n模拟域模拟域设计设计n数字域直接设计数字域直接设计2例题：n离散处理连续时间信号如下：n其中，数字滤波器要求如下：n设计一个满足上述要求的IIR数字滤波器(7.15 )a0.89125|() | 1jH e0|0.2|() |0.17783jH e0.3|(7.15 )bC/DDSPD/CTdTd3 一、一、 模拟域设计法模拟域设计法n将连续域系统将连续域系统变换变换成满足预订指标的离散时成满足预订指标的离散时间系统是传统中常用

2、的一类方法，因为：间系统是传统中常用的一类方法，因为：n连续时间系统的连续时间系统的设计方法十分成熟设计方法十分成熟n有很多有很多经验公式经验公式可资利用可资利用n利用模拟域来设计数字滤波器利用模拟域来设计数字滤波器n将离散系统性能将离散系统性能技术指标转化技术指标转化为模拟指标，为模拟指标，n利用连续滤波器来逼近性能指标利用连续滤波器来逼近性能指标n通过通过某种变换某种变换离散为数字滤波器。离散为数字滤波器。4n变换变换即是需要将即是需要将S平面映射到平面映射到Z平面平面n映射必须满足两个映射必须满足两个基本条件基本条件：n1） 频率响应与频率响应与 频率响应对应频率响应对应，也就是，也就是

3、S平面虚轴要映射为平面虚轴要映射为Z平面单位圆；平面单位圆；n2）因果稳定因果稳定的的 要映射为因果稳定的要映射为因果稳定的 ，即，即S平面的左半平面要映射为平面的左半平面要映射为Z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。 n满足上面的映射有很多种，此处我们主要讲述满足上面的映射有很多种，此处我们主要讲述两种方法：两种方法：n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性双线性Z变换变换)(sHa)(zH)(sHa)(zH变换需要具备的条件变换需要具备的条件51、冲激响应不变法、冲激响应不变法n目的：目的：n使数字滤波器的使数字滤波器的单位冲激响单位冲激响应应序列为模拟滤波器单位冲序列为模拟滤波器单位冲激响

4、应的激响应的采样采样，即：，即：n利用上述关系找到模拟滤利用上述关系找到模拟滤波器对应的离散时间波器对应的离散时间系统系统函数函数)()(zHsHa)(| )()(nThthnhanTtanansaezTkjsHTjksHTzHsT)2(1)(1| )(6i) 设计方法设计方法n若令模拟滤波器可以分解为一阶极点系若令模拟滤波器可以分解为一阶极点系统的并联形式，即：统的并联形式，即：n则其单位冲激响应为：则其单位冲激响应为：n系统函数为：系统函数为：NkkkassAsH1)(NktskatueAthk1)()(NkTskNknTskazeAnTueAZnThZnhZzHkk1111 )()()(

5、)(7ii) 注意问题注意问题na）冲激响应不变法可以冲激响应不变法可以保证保证S平面与平面与Z平面的平面的极点相对应极点相对应，但是，但是不能保证零点不能保证零点的对应关系；的对应关系；nb）频率响应与采样间隔成反比，当采样频率响应与采样间隔成反比，当采样时间太小时，系统时间太小时，系统增益过高增益过高，故采用，故采用修修正正的冲激响应不变法：的冲激响应不变法：)()(nTThnhaNkTskzeATzHk111)(nansaezTkjsHTjksHTzHsT)2(1)(1| )(8n c）由于上面的映射在时域为）由于上面的映射在时域为采样关系采样关系，所以满足：所以满足： 及及 并且：并且

6、：n任何模拟滤波器都不可能理想带限，所以存在不同程度的任何模拟滤波器都不可能理想带限，所以存在不同程度的混叠混叠现象现象sTez T)2(1)(kajwTkwjHTeHnansaezTkjsHTjksHTzHsT)2(1)(1| )(9扩展：阶跃响应不变法扩展：阶跃响应不变法n阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃阶跃响应响应对应于模拟滤波器的阶跃响应的对应于模拟滤波器的阶跃响应的采采样样，即：，即：n i) 设计方法设计方法n 令：令：n 则其单位阶跃响应为：则其单位阶跃响应为：)(| )()(nTgtgnganTtaNkkkassAsG1)(NktskatueAt

7、gk1)()(10)(1)()(1)(sHssGzHzzzGaa)(*)()()(*)()(tuthtgnunhngaNkTsknTtazeAzzsGaLZzznTgZzzngZzzzGzzzHk11111|)(1)(1)(1)(1)(采用冲激响应不变法11na) 仍为采样关系，所以仍然满足：仍为采样关系，所以仍然满足： n nb) 数字滤波器的频率响应为：数字滤波器的频率响应为：n阶跃响应不变法仍然不可避免混叠现象阶跃响应不变法仍然不可避免混叠现象n由于由于 因子的存在，使得幅度响应与频率成反比因子的存在，使得幅度响应与频率成反比,混叠现象混叠现象比冲激响应不变法要比冲激响应不变法要弱弱。

8、S/1sTez TkajwjwjwTkjTkjHTeeeH)2()2(11)(ii) 注意问题注意问题12例题：n离散处理连续时间信号的系统框图如下：n其中，数字滤波器要求如下：n假设Td=1，试用冲激响应不变法设计一个具有巴特沃兹滤波特性，满足上述要求的数字滤波器(7.15 )a0.89125|() | 1jH e0|0.2|() |0.17783jH e0.3|(7.15 )bC/DDSPD/CTdTd13解：n（1）首先将离散时间滤波器的技术指标变换成连续时间滤波器的技术指标n由于有混叠现象的存在可能导致指标恶化，设计完成后，需要对滤波器性能进行评估 (7.14 )a0.89125 |(

9、)| 1cHj 0 | 0.2 |()| 0.17783cHj 0.3| (7.14 )b|()|cHj14n模拟巴特沃兹滤波器的幅度响应是频率的单调函数，则n巴特沃兹滤波器的幅度平方函数为：n因此滤波器的设计过程包括确定满足所需技术指标的参数N和 。c(7.15 )a|( 0.2 )| 0.89125cHj|( 0.3 )| 0.17783cHj(7.15 )b221|()|1()cNcHj (7.16)15n方程的解是N5.8858和 .70474。n参数N必须为整数，为满足和超过该技术指标，我们将N近似为整数，取N6。n将N6代入(7.17a),得 0.7032。n若取此值，则完全可以满

10、足通带指标并超过（连续时间滤波器）阻带指标。给离散时间滤波器的混叠效应留有余地cc2( )()1 1()NcccsHs Hs16因此 的极点是S平面左半部分上的三对极点，其坐标为( )cH s 第一对极点：0.182(0.679)j0.497(0.497)j0.679(0.182)j第二对极点：第三对极点：222( )0.12093(0.36400.4945)(0.99450.4945)(1.35850.4945)cHsSSSSSS17n如果我们把 表示成一个部分分式展开式并然后将各共轭对结合在一起，则得出离散时间滤波器的系统函数n冲激响应不变法设计得到的系统函数可直接用并联形式实现。n如果需

11、要用串联形式或直接形式，则应当用适当的方法将分散的各个二阶项组合起来。( )cHs11( )1k dNdks TkT AH zez1111212120.2871 0.44662.1428 1.14551.8557 0.6303( )1 1.29710.69491 1.06910.36991 0.99720.2570zzzH zzzzzzz18n频率响应1920n离散时间滤波器在通带边缘、阻带边缘处超过指标n所用原型连续时间滤波器在通带边缘、阻带边缘处超过指标n采样引入的混叠对离散滤波器性能没造成严重影响 n如果由于混叠使所得出的离散时间滤波器不能满足技术指标，则可试用较高阶的滤波器，或者保持阶

12、次不变而调整滤波器的参数。结论212、双线性、双线性Z变换变换n冲激响应不变法和阶跃响应不变法由于冲激响应不变法和阶跃响应不变法由于使用了时域上的采样原理，所以不可避使用了时域上的采样原理，所以不可避免的产生了频率响应免的产生了频率响应混叠失真混叠失真。n其原因也可以解释成其原因也可以解释成S到到Z平面的平面的多值映射多值映射问题。问题。n为了克服这一缺点，引入单值映射（双为了克服这一缺点，引入单值映射（双线性变换），使得线性变换），使得S平面的虚轴单值的映平面的虚轴单值的映射到单位圆上。射到单位圆上。sszzzs111111双线性变换对因果稳定性的影响双线性变换对因果稳定性的影响n由于：由于

13、： 所以：所以：n 因此：因此：n当当 时，时， ；n当当 时，时， ；n当当 时，时， ；n不改变模拟系统的因果性和稳定性。不改变模拟系统的因果性和稳定性。22ssz112222)1()1(z1z1z1z00023n频率的对应关系频率的对应关系n n实际中，为了数字滤波器在实际中，为了数字滤波器在某一频点某一频点有特定有特定的性能，常使的性能，常使某一模拟频率与某一数字频率某一模拟频率与某一数字频率对应，对应，此时需要引入待定常数此时需要引入待定常数c:n从而改进的双线性变换为：从而改进的双线性变换为： 2*tgc1111| )()(zzcsasHzH)2tan(11112222jeeeee

14、ejjjzjjjjjj24na) 常数常数c的确定方法的确定方法n若使某一模拟频率若使某一模拟频率 与某数字频率与某数字频率 对应对应n若使数字频率的若使数字频率的低频特性低频特性与模拟频率的低频与模拟频率的低频特性相近，即保持：特性相近，即保持：cc)2(cctgcT2*)2(*cTtgcTTTc2ii) 注意问题注意问题25nb) 变换对因果、稳定性的影响变换对因果、稳定性的影响n 由于：由于： 所以：所以：n 因此：因此：n当当 时，时， ；n当当 时，时， ；n当当 时，时， ；n不改变模拟系统的因果性和稳定性。不改变模拟系统的因果性和稳定性。scscz2222)()(ccz1z1z1

15、z00026nc) 双线性变换固然消除了混叠现象，但是双线性变换固然消除了混叠现象，但是由于数字频率和模拟频率之间严重的由于数字频率和模拟频率之间严重的非线性非线性变换变换，使得其，使得其丧失了模拟滤波器的某些优点丧失了模拟滤波器的某些优点，如线性相位特性。如线性相位特性。27d) 频率预畸变频率预畸变n对某些应用的数字滤波器，往往要求在对某些应用的数字滤波器，往往要求在多个多个临界数字频率临界数字频率处符合特定性能要求处符合特定性能要求n首先按照这些数字频率计算相应的模拟频率，首先按照这些数字频率计算相应的模拟频率，n然后设计在这些对应的模拟频率处满足指标然后设计在这些对应的模拟频率处满足指

16、标的模拟滤波器的模拟滤波器n最后通过双线性变换获得数字滤波器最后通过双线性变换获得数字滤波器28例题：n针对上题中的系统，若Td=1,请采用双线性变换进行数字滤波器的设计，要求数字滤波器的低频特性与模拟滤波器的低频特性类似；并给出上述系统处理连续信号的通带截止频率和阻带起始频率；29解：n频率作预畸变处理0.89125 |() | 1cHj 20.20tan()2dT |()| 0.17783cHj 20.3tan()2dT |( 2 tan(0.1 ) |0.89125cHj|( 2 tan(0.15) |0.17783cHj221|() |1()cNcHj30222 tan(0.1 )11

17、()()0.89Nc222 tan(0.15)11()()0.178Nc221()1)0.178log1()1)0.895.30466tan(0.15)2 logtan(0.1 )N因为N必须是整数，所以我们选取N=6， 。对于双线性变换法不必担心混叠问题。0.76622c 311 61212120.0007378(1)( )(1 1.26860.7051)(1 1.01060.3583)(1 0.90440.2155)zH zzzzzzz2220.20238( )(0.39960.5871)(1.08360.5871)(1.48020.5871)cHsssssss3233n双线性变换是将s平

18、面的整个虚轴映射成z平面的单位圆，所以离散时间滤波器的幅度响应要比原始连续时间滤波器幅度响应下降快。n特别是 在 处的特性对应于 在 处的特性。n由于连续时间巴特沃兹滤波器在 处有一个六阶零点，所以得出的离散时间滤波器在 n 处也有一个六阶零点。()jH e()cHj s 1z 34二、直接数字域设计二、直接数字域设计n离散时间系统并不是依赖于连续时间系统离散时间系统并不是依赖于连续时间系统的采样，数字滤波器完全有自己的采样，数字滤波器完全有自己一套独立一套独立的设计方法的设计方法，即，即数字域设计数字域设计。 n数字域又可以分为数字域又可以分为离散时间域离散时间域和和数字频域数字频域两大类设

19、计方法。两大类设计方法。n（一）数字频域设计（一）数字频域设计n幅度平方函数法幅度平方函数法n（二）数字（二）数字时域时域设计设计n帕德逼近法帕德逼近法n波形成型滤波器波形成型滤波器35n与模拟域幅度平方设计滤波器一样，利用幅度平与模拟域幅度平方设计滤波器一样，利用幅度平方函数在某些约束条件下来导出系统函数。方函数在某些约束条件下来导出系统函数。n假设：假设：n数字巴特沃兹滤波器数字巴特沃兹滤波器n契比雪夫滤波器契比雪夫滤波器NcdjH211)(NcNtgtgA22)2()2()()2()2()(222cNNtgtgCA)(11| )1()()(2*2wAzHzHeHNezjwj幅度平方函数法

20、NcNtgtgA22)2()2()()(11| )1()()(2*2wAzHzHeHNezjwj其他滤波器n椭圆滤波器（椭圆滤波器（Elliptic filter），通带通带和和阻带阻带等等波纹。相比其他波纹。相比其他的滤波器，在阶的滤波器，在阶数相同的条件下数相同的条件下有着最小的通带有着最小的通带和阻带波动。和阻带波动。n贝塞尔滤波器贝塞尔滤波器（Bessel filter）是具有最大平坦的群延迟群延迟（线性相位响应）的线性滤波器。37n幅度响应固然有了，如何得到系统函数呢？幅度响应固然有了，如何得到系统函数呢？n由于：由于：n将上式带入幅度平方函数后，即可得：将上式带入幅度平方函数后，即

21、可得：n选取单位圆内的极点选取单位圆内的极点即可组成可实现因果稳即可组成可实现因果稳定系统。定系统。jwezjwjwjwjwzzeeeewwtg|11)(211)(211cos1cos1)2(2112)1()(*zHzHNcNtgtgA22)2()2()()(11| )1()()(2*2wAzHzHeHNezjwj38（二（二） 时域设计法时域设计法n在离散时域中设计数字滤波器，即是给在离散时域中设计数字滤波器，即是给出所要求系统的若干时刻单位冲激响应出所要求系统的若干时刻单位冲激响应n设计系统，使得所设计系统的单位冲激设计系统，使得所设计系统的单位冲激响应响应h(n)在上述时刻在上述时刻尽量

22、逼近理想的单尽量逼近理想的单位冲激响应位冲激响应hd(n)。 Mnnhd,.2 , 1)(391、帕德逼近法、帕德逼近法n设计目的设计目的n根据时域上最接近根据时域上最接近hd(n)的单位冲激响应的单位冲激响应 来求得系统函数来求得系统函数H(z)n也就是在也就是在h(n)=hd(n) n=1,2,K的条件的条件下求得系统函数的待定系数下求得系统函数的待定系数ijba 和NjjjMiiinnzazbznhzH000)()(40n设滤波器系统函数为：设滤波器系统函数为：n则可得到：则可得到：n 所以有：所以有：NjjjMiiinnzazbznhzH000)()( MiiinnNjjMiiinNj

23、jjnzbzjnhazbzaznh000000)()(MnbjnhanNjj,.2 , 1 , 0)(041n若令若令 ，则共需要，则共需要N+M+1个方程。个方程。根据上面的方程就可以得到这些系数。根据上面的方程就可以得到这些系数。n n 因而可以得到系统函数：因而可以得到系统函数：10aNMMMnjnhaNjj,.,2, 10)(0),.,2 , 1(NjajMnbjnhanNjj,.,1 , 0)(0),.,1 , 0(MibiNjjjMiiizazbzH101)(42n针对针对特定的输入特定的输入，要求，要求特定输出特定输出情况下情况下的滤波器设计，所以叫做的滤波器设计，所以叫做波形形

24、成滤波波形形成滤波器器。它是。它是帕德逼近法基础上帕德逼近法基础上的时域直接的时域直接设计。设计。n设设 是输入，是输入， n 为希望的系统输出为希望的系统输出 n 所设计系统的输出所设计系统的输出)(.) 1 ()0(Nxxx、)(.) 1 ()0(Myyyddd、)(.) 1 ()0(Myyy、2、波形形成滤波器、波形形成滤波器43n按照按照最小均方误差准则最小均方误差准则来确定系统的最来确定系统的最优单位冲激响应，即：优单位冲激响应，即：n由于系统为因果系统，输入由于系统为因果系统，输入x(n)亦为因亦为因果序列，所以：果序列，所以：min)()(02MndnynyEniihinxny0

25、)()()(44n所以：所以：nn由拉格朗日定理可知上式成立的条件是：由拉格朗日定理可知上式成立的条件是： n由上面的方程式即可求得最优的单位冲激响应由上面的方程式即可求得最优的单位冲激响应n再由帕德逼近法可最终获得系统函数再由帕德逼近法可最终获得系统函数H(z)。min)()()(020 MndninyihinxE1,.,2 , 1 , 00)(KjjhE453、数字频带变换、数字频带变换n如何设计数字高通、带通、带阻滤波器?n可将模拟滤波器转换相应类型数字滤波器。n也可直接在数字频域内将设计好的数字低通滤波器通过频带变换为各种类型滤波器。归一化归一化模拟低通模拟低通模拟低通、模拟低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻模拟域模拟域频带变换频带变换双线性双线性变换变换归一化归一化模拟低通模拟低通数字数字低通低通数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字域数字域频带变换频带