共面向量定理(1)（苍柏书屋）

1、共面向量定理共面向量定理1青苗C学班共线向量共线向量:1. 1.共线向量的定义：共线向量的定义：若表示若表示空间空间向量的有向线段所在的直线互相向量的有向线段所在的直线互相平平行或重合行或重合，则这些向量叫做，则这些向量叫做共线向量或平行向共线向量或平行向量量。ba/记记作作2.2.共线向量定理：共线向量定理：注：注：零向量与任一向量共线零向量与任一向量共线.作用：作用：判定向量共线判定向量共线, 线线平行（需说明不重合）线线平行（需说明不重合）, a b a b 对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量 , , 存在实数存在实数 ,使得使得bal=l(0)a 2青苗C学班3.平面向量基本定理

2、：平面向量基本定理：12121 122,e eaeea 任一如果是同一平面内的两个向量 那么对不于这一平面内的一对实有且数只有共线使向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3青苗C学班共面向量共面向量 1.如图如图 是共面向量吗是共面向量吗?为什么为什么?1111,AC A B A D (1)能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.(2)(2)空间中的任意两个向量一定是共面向量空间中的任意两个向量一定是共面向量. .这这句话对吗句话对吗? ?为什么为什么? ?D1A1B1C1ABCD 4青苗C学班D1A1B1C1ABCD2.空间中的任意三个向量一定共面吗空间中的任意三个向量一定共面

3、吗? 已知向量已知向量 和两不共线和两不共线向量向量 , a b p (1)(1)当当 共面时共面时, , 存在唯一一对有序存在唯一一对有序实数实数(x,y),(x,y),使得使得 , ,这句话对吗这句话对吗? ?pxayb=+ , ,p a b ()a bAPpABMabPpB/5青苗C学班AA(2)(2)对于空间三个向量对于空间三个向量 , ,如果存如果存在惟一实数对在惟一实数对(x,y),(x,y),使得使得 , ,那么那么 与与 共面吗共面吗? ?, ,p a b pxayb=+ p , a b ()a bBMabPpPpB/共面向量定理：共面向量定理：已知两个已知两个 向量向量 ,

4、,那么那么 和和 共面共面的充要条件是的充要条件是: :, a b , a b p 不共线不共线pxayb=+ 存在惟一实数对存在惟一实数对(x,y),(x,y),使得使得定理的作用定理的作用:(2)(2)证明点在面内或证明点在面内或四点四点共面共面(1)(1)用两不共线向量用两不共线向量 可以可以表示与表示与 共面的任意向量共面的任意向量. ., a b , a b 6青苗C学班练习练习:判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(1)(1)若若 , ,则则 与与 共面共面. .pxayb=+ , a b p (2)(2)若若 与与 共面共面, ,则则 . ., a b p pxayb=+

5、(3)(3)若若 , ,则则M,A,B,PM,A,B,P四点共面四点共面. .MPxMAyMB=+(4)(4)若若M,A,B,PM,A,B,P四点共面四点共面, ,则存在实数则存在实数x,y,x,y,使得使得MPxMAyMB=+7青苗C学班例题例题1:已知矩形已知矩形ABCDABCD和矩形和矩形ADEFADEF所在的平面互相所在的平面互相垂直垂直, ,点点M,NM,N分别在对角线分别在对角线BD,AEBD,AE上上, ,且且DM=2MB,EN=2NA,DM=2MB,EN=2NA,求证求证:MN/:MN/平面平面CDECDEABCDEFNMG8青苗C学班例题例题2:设空间任意一点设空间任意一点O

6、O和不共线三点和不共线三点A,B,C,A,B,C,若点若点P P满满足向量关系足向量关系: (: (其中其中x+y+z=1)x+y+z=1)试问试问:P,A,B,C:P,A,B,C四点是否共面四点是否共面? ?=+ OPxOAyOBzOCABCPO9青苗C学班练习练习:1. 1.已知正四棱锥已知正四棱锥P-ABCD,P-ABCD,点点M,NM,N分别在分别在PA,BDPA,BD上上, ,且且PM:MA=BN:ND=2:3,PM:MA=BN:ND=2:3,用向量法证用向量法证明明:MN/:MN/平面平面PBC.PBC.DPMABCN10青苗C学班 设平面任意一点设平面任意一点P P和不共线三点和

7、不共线三点O,A,B,O,A,B,若点若点P P满足满足 ( (其中其中x+y=1),P,A,Bx+y=1),P,A,B三点三点共线吗共线吗? ?=+ OPxOAyOBlPABO11青苗C学班练习练习:2.设设 不共面不共面,若若 ,则则 必必( ), ,a b c 2,mab nbc=-=+ 453 ,pabc=- , ,m n p A.不共面不共面 B.共面共面C.可能共面可能共面D.以上都有可能以上都有可能2,2,mab nbc=-=- 3 ,pabc=-+ 3.设设M在平面在平面ABC内内,对空间任意一点对空间任意一点P, ,则则x=_1123PMxPAPBPC=+- 12青苗C学班A

8、BCDO1A1B1C1D4.从平行四边形从平行四边形ABCD所在平面外一点所在平面外一点O作向量作向量1111,OAkOA OBkOB OCkOC ODkOD= 求证求证:(1)A1,B1,C1,D1四点共面四点共面.11(2)/.ACAC平面平面13青苗C学班小结小结:1.共线向量共线向量: 对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量 (0)a b a罐 ()baRll=ab，a b()baRll=2.共面向量共面向量:对于空间任意三个向量对于空间任意三个向量 ,ab p ，( ,)pxayb x yR=+ , ,a b p 共面( ,)pxayb x yR=+ , ,a b p 共面()a

9、b14青苗C学班15青苗C学班3.共线向量推论：共线向量推论：alPABOa tOAOPtlPOaaAl 使使存存在在着着实实数数上上在在直直线线点点对对任任一一点点则则的的直直线线且且平平行行于于为为经经过过已已知知点点若若,)0(注：注：。la的的方方向向向向量量叫叫做做直直线线其其中中)1(OBtOAtOPABtOAOP )1(:)2(或或示示式式空空间间直直线线的的向向量量参参数数表表)(21,21)3(OBOAOPtAB 时时当当中点公式中点公式线段线段作用：作用：证明点共线证明点共线.16青苗C学班3.共面向量定理的推论共面向量定理的推论MBAabPpMByMAxMPyxMABP 使使对对存在有序实数存在有序实数内内在面在面点点,)1(OMByMAxOMOPOMABP 有有空间任一定