三重积分的几种计算方法（课堂PPT）

1、.1d)(Xf当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv则vzyxfd),(三重积分1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下，记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz0则zyxzyxfvzyxfddd),(d),(三重积分.2zyxzyxfddd),(yxzzyxfDyxzyxzdd d),(),(),(21 zzyxfyxyxzyxzxyxybad),(dd),(),()()(2121xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)D(1) 化成一个定积分和一个二重积分化成一个定积分和一个二重积分zzyxfyxyxzyxzDd ),(dd),(

2、),(21设 D 为 在 xy 平面上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x).3zxyx+y+z=10例例1 1. 计算,dddzyxx其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：解： D: 0 y 1x, 0 x 1 zyxxdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd.4例例2 2. 计算,ddd)cos(zyxzxy其中 是由抛物柱面xy 及平面y=0, z=0, 所围闭区域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd

3、21162yxz2xz0 xy D02yx.5y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzx.6x=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyz.7例例3 3. 将zyxzyxfddd),(化为三次定积分，其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.解：解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2

4、.8zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 .9解解2 2：先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：z= x2+y2 Dxy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz112xzy2xzy.10(2) 化为一个二重积分和一个定积分化为一个二重积分和一个定积分zyxzyxfddd),(zyxzyxfzDzzddd),()(21)(dd),(d21zDzzyxzyxfz :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz

5、2zz2D(z).11例例4.4. 计算,ddyxz其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解解：D(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(.12例例5 5. 计算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xyzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx102)d(121xxx241)(ddxDzy2)1 (21x,dddzyxx其中 是由平面 x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xy xy01x1x.132. 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分

6、M (r, , z)x=rcosy=rsinz = z(0r+, 02, z+)rzM0 xzyyx.14柱面坐标的三组坐标面分别为柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数常数 =常数常数z=常数常数xyzo.15),(),(zrzyxrxryrzxyzzxzyzz= r 1000cossin0sincos rr故 dxdydz=rdrddzzrrzrrfzyxzyxfddd),sin,cos(ddd),(*.16例例1.1. 计算,ddd22zyxyxz其中 由22yxz与 z=1 所围闭区域.解解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=r

7、z=1.17zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D.18例例2 2. 计算,dddzyxz =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：D: x2+y21221yxz21rzzrzrzyxzdddddd*2101020dddrzzrrrrrd2)1 (21024210ddrDzzrdrxyz0121rz.19例例3.3. 再解例1,ddd22zyxyxz其中是 由22yxz与 z=1 所围闭区域.解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原积分=*2dddzrzr)

8、(220dddDzrzrxyz.20110220drzdzrrdxz)(220dddDrzry152D( )z1r0z= r1.21例例4 4. 再解例2,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原积分 =*dddzrzr)(20dddDzrzrxyz0.222101020dddrzzrr.4xyz021rz011rz)(20dddDrzr.233. 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分M (r, ,)x=OPcos z= r cos(0r+, 0, 02)y= OPsin M0zxyrPxyz= r s

9、in cos= rsin sin.24球面坐标的三组坐标面：球面坐标的三组坐标面： r =常数 =常数 =常数dxdydz= r2sin drddsin),(),(2rrzyxdddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),(*2rrrrrfzyxzyxfzxy.25例例5 5. 计算,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：x2+y2+z2=1 r=1而 0 2 故用 = 截 得 D()原积分*2dddsincosrrr230()dcos sin d dDrrxyz0.26xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1.27例例6.6.,ddd)(222zyxzyx22yxz是由其中和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.解解： x2+y2+z2=a2 r=a22yxz.4原积分*22dddsinrrr)(420ddsindDrrzyxa.28zyxa)(420ddsindDrrarr044020ddsind)2