2018届中考复习：二次函数相关的最值问题练习

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二次函数相关的最值问题二次函数相关的最值问题例 1. 如图，抛物线 yx24x5 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点(1)求直线 AC 的解析式及顶点 D 的坐标；(2)若 Q 为抛物线对称轴上一动点，连接 QA、QC，求|QAQC|的最大值及此时点 Q 的坐标；(3)连接 CD，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点(不与点 A、C 重合)，过 P 作 PEx 轴交直线 AC 于点E，作 PFCD 交直线 AC 于点 F，当线段 PEPF 取最大值时，求点 P 的坐标及线段 EF 的长；精选优质文档-倾情为你奉上

2、专心-专注-专业(4)在(3)问的条件下，将 P 向下平移34个单位得到点 H，在抛物线对称轴上找一点 L，在 y 轴上找一点K，连接 OL，LK，KH，求线段 OLLKKH 的最小值，并求出此时点 L 的坐标；(5)在(3)问的条件下， 将线段 PE 沿着直线 AC 的方向平移得到线段 PE， 连接 DP， BE， 求 DPPEEB 取最小值时点 E的坐标精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业针对训练1如图，直线 ykxb(k、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点 A(4，0)、B(0，3)，抛物线 yx22x1 与 y 轴交于点 C.(1)求直线 ykxb 的解析式；(2)若点 P

3、(x，y)是抛物线 yx22x1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于 x的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；(3)若点 E 在抛物线 yx22x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF 的最小值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2如图，已知抛物线 y33x2233x 3与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AEAC交 DH 的延长线于点 E.(1)求线段 DE 的长度；(2)如

4、图，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为线段 PF 上方抛物线上的一点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3如图，对称轴为直线 x2 的抛物线经过 A(1，0)，C(0，5)两点，与 x 轴另一交点为 B.已知 M(0，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式；(2)若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？说明理由精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4已知，如图，二次函数 yax22ax3a(

5、a0)图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A、B 两点(B 点在 A 点右侧)，点 H，B 关于直线 l：y33x 3对称(1)求 A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线 l 上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点 B 作直线 BKAH 交直线 l 于点 K，M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连接 HN、NM、MK，求 HNNMMK 和的最小值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y12x2 2x3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C，连接 BC，过点 A 作 ADBC 交 y 轴于点 D.(1

6、)求平行线 AD、BC 之间的距离；(2)点 P 为线段 BC 上方抛物线上的一动点，当PCB 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到直线 BC 上点 M 处，再沿垂直于直线 BC 的方向运动到直线 AD 上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 B 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 Q 经过的最短路径的长精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业6如图，抛物线 y34x294x33交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 Q 为顶点，点 D 为点 C 关于对称轴的对称点(1)求点 D 的坐标和tanABC 的值；(2)若点 P 是抛物线上位于点 B、D 之间的

7、一个动点(不与 B、D 重合)，在直线 BC 上有一动点 E，在 x轴上有一动点 F.当四边形 ABPD 的面积最大时，一动点 G 从点 P 出发以每秒 1 个单位的速度沿 PEF 的路径运动到点 F，再沿线段 FA 以每秒 2 个单位的速度运动到 A 点后停止，当点 F 的坐标是多少时，动点 G在运动过程中所用时间最少？精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二次函数相关的最值问题答案例 1. 解：(1)yx24x5(x24x)5(x2)29，D(2，9)当x0 时，y5，C(0，5)当y0 时，x11，x25，A(5，0)，B(1，0)，yACx5；(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物

8、线对称性知QAQB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC5x5，根据三角形三边关系可知，当点Q，C，B三点共线时，|QBQC|最大，即|QAQC|最大，可求直线yBC5x5 与抛物线对称轴交点Q为(2，15)，此时|QAQC|最大值BC 26.解：(3)过P作PQy轴，交AC于Q，再作FMPQ于M，如图，直线AC：yx5，设P(t，t24t5)，Q(t，t5)，PQ(t24t5)(t5)t25t.PEFCAO45，PEPQt25t，PFCD，kCD2kPF，tanMPF12，设FMnMQ，则PM2n，PQ3n，PF 5n，即PF53PQ，PEPF(3 5)n(153)PQ，当PQ最大时，P

9、EPF取最大值，而PQt25tPEt522254，当t52时，PEPF取最大值，此时P52，354 ，EF 2PM2526.(4)如图：在(3)问的条件下，P52，354 ，H52，8，作H关于y轴的对称点H1，作O关于抛物线对称轴对称点O1，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以O1(4，0)，H152，8，连接O1H1，则O1H1长即为OLLKKH的最小值，直线O1H1：y1613x6413，直线O1H1与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时L2，3213 ，OLLKKH的最小值O1H15217；(5)在(3)问的条件下，PEPE254，在线段 PE 平移过程中，PE 即 PE长度

10、不变，将 DP沿 PE向右平移 PE 的长即254个单位，得到 DE，如图，则四边形 DDPE为平行四边形，故 DPDE，要使得 DPPEEB 最小，即 DPEB 最小，即要使 DEEB 最小，当 D，E，B 三点共线时，DEEB 最小，设 DB 与直线 AC 交于点 E.由题意知 D174，9，直线 BD：y3613x3613，E10123，21623 ，即点 E的坐标为(10123，21623)针对训练：1. 解：(1)直线ykxb经过A(4，0)、B(0，3)，4kb0，b3，解得k34，b3.y34x3.(2)过点P作PHAB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线

11、段，垂足分别为M、N.设H(m，34m3)，则M(4，34m3)，N(x，34m3)，P(x，x22x1)PHAB，PHNAHM90，AMMN，MAHAHM90.MAHPHN， AMHPNH90， AMHHNP.MAy轴，MAHOBA.OBANHP.NH3PN4PH5.xm3（34m3）（x22x1）4d5.整理得：d45x2x85，所以当x58时，d取最小值，此时P(58，11964)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(3)抛物线的对称轴为直线x1，作点C关于直线x1 的对称点C，过点C作CFAB于F.过点F作JKx轴，分别过点A、C作AJJK于点J，CKJK于点K，则C(2，1)设

12、F(m，34m3)，CFAB，AFJCFK90，CKJK，CCFK90，CAFJ，JK90，AFJFCK.AJFKJFCK， 34m32mm434m2， 解得m825或m4(不符合题意， 舍去)F(825，8125)，C(2，1)，FC145.CEEF的最小值CF145.2. 解：(1)对于抛物线y33x2233x 3，令x0，得y 3，即C(0， 3)，D(2， 3)，DH 3，令y0，即33x2233x 30，得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AEAC，EHAH，ACOEAH，OCAHOAEH，即331EH，解得：EH 3，则DE23；(2)如图，找点C关于DE的对称点N(4，

13、 3)，找点C关于AE的对称点G(2， 3)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，CPF的周长CFPFCPGFPFPN最小，直线GN的解析式：y33x33；直线AE的解析式：y33x33；直线DE的解析式：x2.联立得：F(0，33)，P(2，33)，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M(m，33m2233m 3)，则Q(m，33m33)(0m2)；SMFPSMQFSMQP12MQ2MQ33m233m433，对称轴为直线m12，而 0122，抛物线开口向下，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业m12时，MPF的面积有最大值，为17312.3. 解：(1)

14、对称轴为直线x2，设抛物线解析式为ym(x2)2k.将A(1，0)，C(0，5)代入得：9mk0，4mk5，解得m1，k9，y(x2)29x24x5.(2)M(0，1)，C(0，5)，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为 3.令yx24x53，解得x2 6.点P在第一象限，P(2 6，3)四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要MEPF最小，则四边形PMEF的周长最小如图，将点M向右平移 1 个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，1)；连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小设直线PM2的解析式为ymxn，将P

15、(2 6，3)，M2(1，1)代入得：（2 6）mn3，mn1，解得：m4645，n4615，y4645x4615.当y0 时，解得x654.F(654，0)a1654，a614.a614时，四边形PMEF周长最小4. 解：(1)依题意，得ax22ax3a0(a0)，解得x13，x21，B点在A点右侧，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，证明：直线l：y33x 3，当x3 时，y33(3) 30，点A在直线l上(2)过顶点H作HCAB交AB于C点，点H、B关于过A点的直线l：y33x 3对称，AHAB4，又点H为抛物线顶点，则点H在抛物线对称轴上，AHBHAB4.在 RtACH中，由勾

16、股定理得CHAH2AC223，顶点H(1，23)，代入二次函数解析式，解得a32，二次函数解析式为y32x2 3x332.(3)直线AH的解析式为y 3x33，直线BK的解析式为y 3x 3，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由y33x 3，y 3x 3，解得x3，y23，即K(3，23)，则BK4，点H、B关于直线AK对称，HNMN的最小值是MB，过点K作KDx轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则KEKD23，QMMK，QEEK23，AEQK，BMMK的最小值是BQ，即BQ的长是HNNMMK的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得QB8，HNN

17、MMK的最小值为 8.5. 解：(1)令y0，即12x2 2x30，解得：x1 2，x232，A( 2，0)，B(32，0)，当x0 时，y3，C(0，3)，在 RtBOC中，BO32，CO3，BC33，sinCBOCOBC33.因为ADBC，sinBADsinCBO33.过B作BHAD于点H，sinBADBHAB33，BH463；平行线AD、BC间的距离为436.(2)过P作PQy轴，交BC于点Q，设P(m，12m2 2m3)，直线BC：y22x3，Q(m，22m3)，SPCB12PQ(xBxC)322(12m2322m)，当m322时，SCPB最大，此时，P(322，154)取点B关于AD的对称点B，将B沿BB方向平移463个单位长度得B，此时B与点H(523，83)重合连接HP，交BC于点M，点M即为所求(PMNMBN)最小PHMN593712463.6. 解：(1)令34x294x330，解得x143，x2 3，A(43，0)，B( 3，0)，在y34x294x33中，令x0，则y33，C(0，33)，OC33，BO 3，在 RtCOB中，tanABCOCOB3，由y34x294x33知，对称轴直线为x332，点D(33，33)；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)由B( 3，0)