常州市2013届高三期末调研测试数学试卷含答案

1、常州市2013届高三期末调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 设集合，若，则实数的值为 2 已知复数（为虚数单位），计算：= 3 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 4 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 5 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为6 函数的最小正周期为7 函数的值域为8 已知点和点在曲线C：为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则 9 已知向量，满足，则向量，的夹角的大小为 10 给出下列命题：（1）若一个

2、平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 11 已知函数f(x)，若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是12 已知数列满足，则= 13 在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为14已知实数同时满足，则的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区

3、域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知均为锐角，且， （1）求的值； （2）求的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB，直线PA与底面ABCD所成角为60，点M、N分别是PA，PB的中点（1）求证：MN平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：平面PCB17（本小题满分14分）FEbaBDCA第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在

4、线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图设，的面积为（1）求关于的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19（本小题满分16分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，（1）若求数列

5、和的通项公式；（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值20（本小题满分16分）已知函数.（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分10 2 3. 4. 5 62789 10、1112 1314二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1），从而 又， 4分 6分（2）由（1）可得，为锐角， 10分12分= 14分16证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MNAB2分因为CDAB，所以MNCD又CD 平面PCD， MN平面PCD，所以MN平

6、面PCD.4分（2）因为ADAB，CDAB，所以CDAD，又因为PD底面ABCD，平面ABCD，所以CDPD，又，所以CD平面PAD6分因为平面PAD，所以CDMD，所以四边形MNCD是直角梯形8分（3）因为PD底面ABCD，所以PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而PAD= 9分 在中， 在直角梯形MNCD中， 从而，所以DNCN 11分在中，PD= DB=， N是PB的中点，则DNPB13分又因为，所以平面PCB14分17解：（1）设，则，整理，得3分， 4分（2）当时，在递增，故当时，；当时，在上，递增，在上，递减，故当时，.18解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）

7、存在满足条件的常数，.点为线段的中点，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、共线，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.19解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以 3分（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，.因为成等比数列，所以设，则，整理得，.解得（舍去负根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，当且仅当且时，及取最大值.从而最大的， 所以，最大的16分20解：（1）若a=1,则当时,， 所以在上单调增,. 2分 （2）由于， （）当时，则， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时， 所以在上单调减，在上单调增.4分（）当时，当时，, 令，得（舍），若，即,则，所以在上单调增；若，即,则当时，；当时，所以在区间上是单调减，在上单调增.6分当时,令，得，记，若，即,则，故在上单调减；若，即, 则由得，且，当时，；当时，；当 时，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减.8分综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间是；当时,单调递减区间是，单调的递增区间是；当时,单调递减区间是(0,)和，单调的递增区间是和.10分（3）函