Note线性离散控制系统的分析与综合

1、第8章线性离散控制系统的分析与综合8.1引言随着微处理器和微计算机的出现和发展，数字控制器在系统中逐渐取代模拟控制器，成为控制系统的一个重要的组成部分，并得到了越来越广泛的应用。在控制系统中，只要任何一个环节为采样开关或数字元器件，或者只要某处采集、传输或加工处理的信号是离散型的时间函数，则称该系统为离散时间控制系统，简称离散控制系统或采样控制系统。若离散信号为脉冲序列， 则称为脉冲控制系统； 若离散信号为数字序列， 则称为数字控制系统或计算机控 制系统。由于在离散控制系统中出现了离散型的信号，前面各章所介绍的适用于连续控制系统的各种分析和综合方法，在这里已不再适用，所以，必须另辟蹊径，寻求新

2、的分析和综合方法，这正是本章所面临的 主要任务和所要介绍的主要内容。8.2离散信号和离散控制系统前面各章介绍了连续控制系统理论，本章将介绍离散控制系统理论。离散控制系统与连续控制系统之间的根本区别在于：在连续控制系统中的输入信号r(t)、反馈信号b(t)和偏差信号e(t)都是连续型的时间函数；而在离散控制系统中则不然，在一般情况下，由于输入信号是离散型的时间函数，记为 r*(t)，所以，取自系统输出端的反馈信号，在和上述离散型输入信号进行比较时，也需要采用离散型的时间函数，记为 b(t)，这样，比较后得到的偏差信号就是离散型的时间函数，记为e(t)，于是e (t)汀(t)-b*(t)因此，在离

3、散控制系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接控制作用乃是离散型的偏差信号e (t)。上述离散控制系统的方框图如图8-1所示。在图8-1中，离散型的反馈信号 b (t)是由连续型的反馈信号 b(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开关经过一定的时间间隔T重复闭合，每次闭合的持续时间为T,且有T T，如图8-2所示。图8-2离散反馈信号图8-3离散控制系统简化方框图在离散控制系统中，采样开关重复闭合的时间间隔 T称为采样周期，而分别称为采样频率和采样角频率。连续型时间信号经过采样开关采样后，变成重复周期等于采样周期T的时间序列信号，该时间序列信号通常在连续型时间函数的右上角标“*”号来表示，如

4、r*(t)，b(t)，e (t)等。在图8-1中，两个采样开关的动作通常是同步的，所以，图8-1所示的离散控制系统的方框图可以等效地简化成如图8-3所示。离散控制系统的应用非常广泛，可以在工农业生产和军事工程中找到许多应用的实例。通常，离散控制系统的组成结构如图8-4所示。但是，离散控制系统的最常见的形式却是如图8-5所示的数字控制系统，又称为计算机控制系统。图8-4离散控制系统方框图图8-5数字控制系统方框图由图8-5可知，数字控制系统是指其中含有数字控制器或数字计算机的离散型控制系统。它包括工作在离散状态下的数字计算机(或专用数字控制器)和工作在连续状态下的被控对象两大部分。数字计算机或数

5、字控制器，构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号是以离散形式出现的；而被控对象通常用Gp(S)或G(9表示，它是系统的不可变部分，是构成控制系统连续部分的主体，通过这部分的信号是以连续形式出现的。在数字控制系统中，由于具有连续时间函数形式的被控信号c(t)(模拟量)，受控于具有离散时间 函数形式的控制信号 u (t)(数字量)，所以，这中间就需要有将连续的模拟信号与离散的数字信号之间进行转换的环节。通常，将连续的模拟信号变换成离散的数字信号的转换环节，称为模/数转换器，简称A/D转换器；而将离散的数字信号变换成连续的模拟信号的转换环节，称为数/模转换器，简称 D/A转换器。数字计算机通过这两

6、种转换器与外部发生联系，故称A/D转换器与D/A转换器为计算机的接口通道或外围设备。在图8-5所示的数字控制系统中，信号的测量、变换、加工处理和传递过程为：连续的被控信号c(t)经反馈环节(测量元件)反馈到输入端，与控制信号r(t)相比较，得到连续的偏差信号e(t)，再经过a/d转换器后，变换成离散的数字偏差信号e (t)。 e (t)经过数字计算机的加工处理，变换成离散的数字控制信号u(t)，u (t)经过D/A转换器，变换成连续的模拟控制信号 uh(t)，再经过被控对象去控制系 统的被控制信号C(t)。数字控制系统在自动控制领域得到了广泛的应用，其主要原因是由于数字控制系统与连续控制系统相

7、比较，具有如下一些特点：1数字控制系统结构简单，能实现多路控制，且可以采用多种不同的控制规律；2信号的检测精度、转换精度和控制精度可以做得很高；3由于采样信号或数字信号抗干扰能力强，可实现远距离传输；4. 可以实现复杂的控制过程，如最优控制、随机控制、预测控制、自适应控制和智能控制等，并 可实现控制与管理一体化；5. 体积小，重量轻，成本低。综上所述，由于离散控制系统，特别是数字控制系统具有一系列的优点，其应用已深入到各个领域，所以，离散控制系统理论的研究越来越受到人们的重视，并取得了丰富的成果。本章主要介绍采样过程与采样定理，Z变换，离散控制系统的数学模型、稳定性分析、稳态误差、动态响应和离

8、散控制系统的 校正等。8.3采样过程与采样定理采样过程及其数学描述1 采样过程实现离散控制所遇到的首要问题，就是如何将连续信号转换为离散信号的问题。按一定的时间间隔 T对连续信号进行采样，并转换为相应离散信号的过程称为采样过程。实现采 样过程的装置称为采样装置或采样器。8-6(b)采样装置可以利用一个周期性闭合与断开的开关来实现，故采样装置又称为采样开关，如图所示。若图8-6(a)所示的连续信号e(t)加在采样开关的一端，而采样开关以一定的规律闭合与断开，则 在采样开关的另一端便得到离散信号 e(t)，如图8-6(c)所示。采样开关闭合与断开一次的所需的时间称为采样周期，记为T，每次闭合持续的

9、时间称为采样持续时间，记为T。由于采样持续时间t通常远小于采样周期 T,也远小于系统连续部分的时间常数，因此,在分析研究离散系统时，可以近似认为t趋近于0,即认为采样是瞬间完成的。于是，采样开关每闭合一次，就得到连续信号 e(t)的某一时刻kT的值e(kT)，如图8-6(d)所示。这样的采样开关称为理想采 样开关，以后所说的采样开关就是指理想采样开关，它相当于一个理想的单位脉冲序列发生器，能够产生一系列单位脉冲。根据采样开关闭合的规律，可以将采样过程进行分类：(1) 如果采样开关采样的时间间隔是固定不变的，则称为均匀采样或周期采样。(2) 如果采样开关采样的时间间隔是变化的，则称为非均匀采样或

10、非周期采样。(3) 如果采样开关采样的时间间隔是随机的，则称为随机采样。(4) 在一个离散系统中，可能存在多个采样开关。如果系统中所有的采样开关均同时采样，则称 为同步采样，否则称为异步采样。(5) 如果系统中所有采样开关都是周期采样，但采样周期不同，则称为多速采样或多种周期采样。 下面只研究同步周期采样过程。2 采样信号的数学描述为了对离散系统进行定性和定量研究，就必须利用数学表达式来描述信号的采样过程，并研究采样信号的性质。下面首先研究采样信号的表达式。当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，经过采样开关采样后， 在其输出端就得到离散信号序列e(kT),k =1,2/ o若以e (t)表

11、示采样信号，则有ode (t) = e(kT)、(t_kT)k0其中(t -kT )为单位脉冲函数，又称为克劳奈克(Croneck)函数，即5 (t _ kT )= J = kT0,t 式 kT所以，式(8-1)写可以为oOQOoOe (t)二 e(kT)、(t-kT)e(t)、(t - kT) =e(t) 、(t - kT)k=0k=0k=0若定义、T(t) = 、(t _ kT)k=0则有e (t) =e(t)、T(t)(8-1)(8-2)采样信号的脉冲调制过程dJ 尹r!0t由式(8-2)可知，采样过程相当于一个脉冲调制过程，如图8-7所示。式(8-1)或式(8-2)就是采样信号的数学表

12、达式。对式(8-1)进行拉氏变换，得QOoOQO - - - kTsE (s)二 Le 二 Le(kT)、(t kT)工嘉 e(kT)L、(t 一 kT)=為 e(kT)e (8-3)k=0k=0k=0式(8-3)是采样信号e (t)的拉氏变换表达式。后面将由式(8-3)建立Z变换与拉氏变换之间的重要联系。下面再对式(8-2)进行拉氏变换，可以得到采样信号e (t)拉氏变换的另一种形式的表达式。因为T(t)是以T为周期的周期性时间函数，所以，可以展开成复数形式的傅氏级数(8-4)、：T(t)二 Ckejstk :其中，S =2二/T为采样角频率,Ck由下式计算1- T 2r ； T (t)e_

13、jk stdtT :1-Ar (t-kT)estdt|k=0(8-5)将式(8-5)代入式(8-4)，得odz1 ejk stT(8-6)将式(8-6)代入式(8-2)，得e (t)lejk st =丄：e(t)ejk stT k(8-7)对式(8-7)进行拉氏变换，得- 1 E (s)二 Le (t)二 L v e(t)ejk st二一 Le(t)ejk FT k eT k Jon设E(s)二Le(t)，则由拉氏变换的位移定理，得A OQE (s)二 L E(s jk s)(8-8)T k 二式(8-8)称为泊松(Poisson)求和公式，因为该式提供了理想采样开关在频域内的十分有用的信息，

14、所以它在描述采样过程性质方面是非常重要的。另外，式(8-8)还将采样信号e (t)的拉氏变换E (s)与连续信号e(t)的拉氏变换E(s)紧密地联系起来了，由此可以直接从E(s)求出 E (s)。F面将会看到，由于 E (s)是s的周期函数，可以对 e (t)进行频谱分析，也可以清楚地看到频谱混叠现象及其影响。832采样定理由于采样定理给出了从采样后的离散时间信号恢复到原连续时间信号时所必需的最低频率，所以在分析研究离散控制系统之前，应该首先介绍它。在式(8-8)中，如果E (S)不含有S右半平面的极点，则可令 S = j ,可直接得到采样信号 e (t)的傅 氏变换1 cdE (j ) =-

15、 Ej(k s)(8-9)T k-oo其中E(j )为连续信号e(t)的傅氏变换。* *式(8-9)即为采样信号e (t)的频谱E (j )的表达式，它反映了离散信号的频谱E (j )与连续信号的频谱E(j )之间的关系。在一般情况下，连续信号e(t)的频谱是单一孤立的频谱，其带宽是有限的，即上限频率为有限值max，如图8-8(a)所示；而离散信号e*(t)的频谱|E*(j )|则具有以S为周期的无穷多个频谱,如图8-8(b)所示(b)图8-8连续信号与离散信号的频谱* 1由式(8-9)可知，在离散信号的频谱|E (j )|中，当k=0时，所对应的部分 -|E(j ) |称为主频谱,它与连续信

16、号的频谱| E( j ) |的形状相同，仅在幅值上变化了1T 。除了主频谱之外，|E*(j)|中还包 含无穷多个高频频谱。这是由于信号采样引起的。为了准确地复现连续信号 e(t)，必须使采样后的离散信号 e (t)的频谱|E (j ) |彼此不相重叠，这 样，就可以利用一个比较理想的低通滤波器滤掉全部的高频频谱分量，保留主频谱。图8-9理想滤波器频率特性由图8-8可见，相邻频谱不相重叠的条件是 s -2 max(8-10)如果满足式(8-10)的条件，并将采样后的离散信号e (t)加到如图8-9所示的理想滤波器上，则在滤波器的输出端就可不失真地复现原来的连续信号e(t)，但幅值缩小了 1 T倍。如果.s 2 max，则会出现图 8