一平面的法向量

1、一.平面的法向量:1.平面方程式(點向式): 設P()為平面E上一點,為E的一法向量, 則平面E的方程式為。2.平面E的法向量求法: (1)先在平面E上找到不平行的兩向量 (2)作的外積例1.求下列各情形之平面方程式:(1)xy平面 (2)過點(2,3,5)而垂直向量(7,-4,0)(3)A(1,2,-1),B(3,0,-1),求的垂直平分面 (4)經過三點(2,3,0),(0,6,0),(-2,-3,4)<類>1. yz平面的方程式為何? 2.包含x軸與點(1,-1,2)之平面方程式為何? 3.自原點對平面E作垂直線,垂足點為(-1,2,1),求平面E之方程式? 4.若A(1,2

2、,0),B(-2,k-1,-1),C(2,-1,2),D(-1,-2,1)四點共平面,求k值 5.如下圖,長方體頂點A(3,4,2),求過A點且與垂直之平面方程式. 答案:1.x=0 2.2y+z=03.x-2y-z+6=0 4.2 5.3x-4y-2z+11=0 例2.平面E過A(2,1,-1),B(1,1,2)兩點,且垂直另一平面7x+4y-4z=0,求E之方程式 A:12x-17y+4z=3<類>1.空間坐標中,平面E:4x+4y+z=11,'為過二點(1,0,1),(0,-2,1)且與E垂直的平面,求'的平面方程式 2.求過A(1,1,1)且垂直兩平面與的平

3、面方程式答案: 1.2x-y-4z+2=0 2. 3x+y+10z-14=0截距式:平面E與三坐標軸的截距為a,b,c,則E的方程式為。例3.平面E平行平面3x+2y+z+11=0,且E與三坐標軸的截距和為22,求平面E之方程式? A:3x+2y+z-12=0<類>1.求平行平面3x-2y+z=0,且與y軸截距為-5之平面方程式 2.平面E過點G(-1,2,-3),且G點恰為E與三坐標軸之交點所成三角形重心,求平面E之方程式? 答案: 1.3x-2y+z=102.二.兩平面的夾角:兩平面的夾角為,則。註: 1. 2.例1.(1)求兩平面2x-y+z-3=0與x+y+2z=7的夾角

4、A: or (2)設兩平面x+y-z+1=0與x+ky+z=2的夾角為,求k值 A:例2.一平面通過兩點(1,0,0),(0,0,),且與平面的交角為,求其方程式<類>1.若為x-y+2z-3=0與x+y+z+2=0的夾角,求 2.若兩平面kx+y+z-2=0與的夾角為,求k值 3.一平面E通過(3,0,0),(0,4,0)及z軸正向上一點(0,0,a)。又E與xy平面的交角為,求a的值 答案: 1.2. 3.例3.設三平面, (1)若,求k值 (2)若,求k,l值 A:(1)1 (2),2三.點到平面的距離:1.點P(,)到 平面ax+by+cz+d=0的距離為。2.兩

5、平行平面的距離為例1.A(3,5,-1),B(2,-4,3),E:3x+4y-5z+5=0,若與E交於P點,則=? A:39:20例2.若x,y,z滿足2x-y-4z=1的條件,求的最小值. A:<類>1.點A(1,2,3)在平面E上之投影點B(-1,3,5),則點(1,5,3)到平面E的距離為何? 2.點P(1,3,3)到 平面3x+6y+2z+t=0的距離為4求t值 3.設x-2y+2z-5=0,求的最小值 答案: 1.32. 1 or -553.6例3.求兩平行平面 x-2y+2z=0, -2x+4y-4z+6=0的距離例4.設:2x+y-z=15,:x-y-2z=

6、8,求,的交角之平分面方程式<類>1.二平面x+2y+3z+6=0,3x+6y+9z+k=0的距離為,則k=? 2.求2x+y-z-1=0及4x-2y+2z-3=0的交角之平分面方程式 答案: 1.-24 or 602.8x-5=0 or 4y-4z+1=0例5.求點(-1,2,1)關於平面x+2y-z-20=0的投影點坐標A:(2,8,-2)<類>求點(1,3,-2)關於平面x+y-z-3=0的對稱點坐標答案:(-1,1,0)例6.若A(1,3,-2),B(2,7,0),平面E:x+y-z-3=0,求在E上找一點P,使得的值為最小,求此時P點坐標及最小值 A:P(0,3,0),<類>的三頂點為A(2,-3,5),B(3,0,10),C(x,y,0)，當的周長為最小時,求C點坐標 答案:四.平面族:空間中二平面,則過之交線的所有平面可設,其中。 註:亦可簡單設為或,。例1.一平面E過二平面2x-y-2=0, y+2z-4=0的交線,且過點(2,1,-1),求E的方程式A:5x-2y+z-7=0例2.過二平面x+y-z+1=0