高阶非线性中立型时滞偏微分方程系统解的强迫振动性

1、第29卷第1期2005年1月Jan.2005文章编号：（）高阶非线性中立型时滞偏微分方程系统解的强迫振动性杨军1，王春艳1，李静1（1.燕山大学理学院，河北秦皇岛066004）摘要：研究具有连续分布偏差变元的高阶非线性中立型偏微分方程系统，获得了系统解振动的若干充分条件。关键词：偏微分方程；连续分布偏差变元；系统；振动中图分类号：文献标识码：引言近年来，关于偏微分方程解的振动理论的研究得到了长足发展，但有关偏微分方程系统解的振动性的研究仍比较少1-6。本文研究一类高阶非线性中立型时滞偏微分方程系统,(（)+,，+,；;,，>0,;+=min;，=1,;,=min,(×,;,=m

2、in=1,×+;,=1,2,=,lim(,关于,分别是非减的，并且;ÊǷǼõµÄÊÇÖоßÓÐÖðƬ¹â»¬±ß½çµÄÓнçÇøÓò£¬×,×其中非负连续函数

3、。称条件(收稿日期：2004-01-08称为是振动的，如果对每一个正数=1,2,+(2)上的,=0。否则×µÄʵֵÏòÁ¿º¯ÊýT2,称为是振动的，如果在定义1的意义之下，基金项目：河北省自然科学基金资助项目（No.102160）；河北省教育厅自然科学基金资助项目（No.2004123）作者简介：杨军（1964-），女，河南平顶山人。博士，教授。主要研究方向为微分差分方程理论及其应用。2 燕山大学学报 2005 至少有一个 , 的分量是振动

4、的； , 称为是 非振动的，如果在定义 1 的意义之下， , 的每 一个分量均是非振动的。 条件( 2) 有 , , 1 , , d (7) 1 主要结果 定理 1 , =1 , , 假设条件 ( ) 成立，记 , = , , d ，若不等式 + =1 联合式 (4) (7)，并注意到条件( 1), ( 3), 当 1时，对任意的 + + (3) d d d , ，有 d + =1 d d , =1 , , , d , d d d , d , , , , =1 无最终正解，则问题 (1)、(2) 的所有解在 内是振 动的。 T 证明 设 , = 1 , , 2 , , , , 是问题 (1)

5、、( 2) 的一个非振动解，不失一般性，假 , , =1 =1, , , , , , , d , , d d d d d + 设对 0>0, 则 , , >0, =sgn , 0 , , , , , , , , ( 。 由条件( 1)、 4) , >0, =1 = , , d 知，存 在 1 0, 在 × 1, 上，有 + + >0, , , >0; ; , ; 。当 1时，对方程 (1) 两边关于 在 上积 , , = d + =1 分，并注意到 d d , , ，对任意的 , 有 d = , =1 =1, d d 令 d + =1 = , + =1

6、d ，可得 + + , d 1 d d , , , d =1 =1 , , d d + , , =1 , d , d (4) , =1 =1, 由 Green 公式及边值条件 ( 2)，有 , d = , , , 1, , , d 是 , , , d = , d , 1, d , 令 = =1 ，可得 + =1 d 0 d = d 0 (5) d d + (6) =1 =1 , , 上的面积元素。另外，由 , =1, , d 第1期杨军等高阶非线性中立型时滞偏微分方程系统解的强迫振动性=,d=1，,11,d+,d=1,11=1,1,+,+=1,dÄÚÊÇ

7、Õñ¶¯µÄ¡£Ö¤±Ï¡£定理2假定1为单调递减函数，且有=1<1,=0,1=>0(8)则问题(1)、(2)的所有解在=1,1>¡Ý>0。令=+=1,1则有>0且，=2时，有0,1，从而是+,+,d0,1(10)由于0,¡Ý0,£¬ÓÉÉÏÃæ²»µÈÊ&#

8、189;¿ÉµÃ,=1,d0,t1到11+,=1,dd4),(¡ä,燕山大学学报2005=1,1dd=1,¡Ý0,£¬ÓÉ11ÉÏʽ¿ÉµÃ,d1=1,当+0,1为偶数，若条件=1>0接下来的证明与定理2类似，从略。推论2<1，且条件d,ÄÚÊÇÕñ¶¯µÄ¡£=1

9、假定存在一正常数<为偶数，若成立，则问题(1)、(2)的所有解在+0,1参考文献余下的证明与定理2证明类似，从略。定理3<1，且存在某一,=1假定存在一正常数<使得1为偶数，若1LiWN,MengFW.ForcedOscillationforCertainSystemsofHyperbolicDifferentialEquationsJ.ApplMathComput,2003,141:313-320.2YangJ,GuanXP.OscillationforSystemsofNonlinearNeutralTypeParabolicPartialFunctionalDiffer

10、entialEquationsJ.ApplMathJCU,1997,12B:165-178.3LinWX.OscillationforSolutionsofSystemsofHighOrderPartialDifferentialEquationsofNeutralTypeJ.ChinQuartJofMath,2003,18(2):168-174.4关新平,杨军.非线性中立型双曲偏泛函微分方程系统的振动性J.系统科学与数学,1998,18(2):239-246.5林文贤.高阶拟线性中立型偏泛函微分方程组解的振动性J.高等学校计算数学学报,2003,25(1):50-59.=1,dd,ÄÚÊÇÕñ¶¯&