[精品]精选牛吃草问题

1、小学数学牛吃草问题知识点总结： 牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科 学家 牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同 头数的牛 吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不 断地变化。小升初冲刺第 2 讲牛吃草问题基本公式：1）设 定一头牛一天吃草量为 “ 1”2）草的生长速度 =（对应的牛头数 X 吃的较多天数一相应的牛头数 X 吃的较少天数）：（吃的较多天数一吃的较少天数）；3）原有草量 =牛头数 X 吃的天数一草的生长速度 X 吃的天数；

2、 '4）吃的天数 =原有草量：（牛头数一草的生长速度）；5 ） 牛头数 =原有草量：吃的天数 +草的生长速度。例 1 、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10 头牛吃 20 天，可供 15头牛吃 10 天。问：这片牧草可供 25 头牛吃多少天？解:假设 1头牛 1天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量： （200-150 ） 9（20-10 ）=5 份10X20=200份原草量+20天的生长量 原草量：200-20X5=100 或150-10X5=100 份15X10=150 份原草量 +10 天的生长量100： （25-5） =5 天自主训练牧场上长满了青草，而且每天

3、还在匀速生长，这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，如果要供 18 头牛吃，可吃几天？解:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量 :（180-150 ）9（20-10 ）=3 份9X20=180 份原草量 +20 天的生长量 原草量 :180-20X3=120 份 或 150-10X3=120 份15X10=150 份原草量 +10 天的生长量 120： （18-3） =8 天 例 2 、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可

4、供多少头 牛吃 10 天？解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量： ( 100-90) : (6-5) =10 份20X5=100份原草量-5天的减少量原草量：100+5X10=150 或90+6X10=150 份15X6=90 份原草量 -6 天的减少量( 150-10X10) ：10=5 头自主训练 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经 测算，牧场上的草可供 30 头牛吃 8天，可供 25 头牛吃 9 天，那么可供 21 头牛 吃几 天？解：假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量： ( 240-225) : (9-8) =1

5、5 份30X8=240 份原草量 -8 天的减少量 原草量： 240+8X15=360 份或 220+9X 15=360 份25X9=225 份原草量 -9 天的减少量 360： (21+15) =10 天例 3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女 孩用 了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？男孩： 20X5 =100 ( 级)自动扶梯的级数 -5 分钟减少的级数女孩;15X6=90 (级)自动扶梯的级数-6分钟减少的级数每分钟减少的级数 =(20X5-15X6) 4

6、- (6-5) =10( 级)自动扶梯的级数 =20X5+5X10=150(级)自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级阶梯， 女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？3X100=300 自动扶梯级数 +100 秒新增的级数2X300=600 自动扶梯级数 +300 秒新增的级数每秒新增的级数： (2X300-3X100) 4- (300-100) =1. 5( 级)自动扶梯级数 =3X100-100X1. 5=150 (级 )1, 有一片牧场，操每天都在匀速生长 (每天的增长量相等 )

7、，如果放牧 24 头 牛，则 6 天吃完草，如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量 相等，问：要 使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=12 头牛吃最多只能放 12 头牛2, 有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃 40 天，或 6 供头牛吃 30 天。如果 4 头牛吃了 30 天后，又增加 2 头牛一起吃，这片草地还可 以再吃几天？ 假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200 ； 6*30=180200-180=20每天长的草 : 20/

8、(40-30) =2原有草： 200-2*40=1204*30=120 , 30*2=6060/4=15 天3, 假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年，或可供 90 亿人生活 210 年，为了人类不断繁衍，那么地球 最多可以 养活多少亿人？假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位110*90=9900 ； 90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754, 一游乐场在开门前有 100 人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一 个入口处每分钟可以放入 10 名游客，如果开放 2 个入口处 20 分

9、钟就没人排队， 现开放 4 个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=4( 1)因为草量 =原有草量 +新长出的草量，而且草量是均匀增长的。所以“对应的牛头数 X 吃的较多天数 ”就代表了第一次情况下的总草量，即 为：吃的 较多天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 *较多天数时的时间。 同理 “相应 的牛头数 X 吃的较少天数 ” 代表了第二次情况下的总草量，即为：吃 的较少天数时的 总草量=草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。两个一做差，式子中的 “原有草量”就被减掉

10、了，等号的左边就是两次情况之下 总草 量的差，右边等于草的生长速度 *两次情况下的时间差，所以直接把时间差 除到左边 去，就得到了草的生长速度了。（2 ）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的草。所以“牛头数X吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把 草吃干净 了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。当然草的总量减去新增长出来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家 牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同

11、，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是1）设定一头牛一天吃草量为 “ 1”1） 草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数 X吃 的较少 天数）4-（吃的较多天数一吃的较少天数）；2）原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度 x吃的天数；3 ）吃的天数=原有草量+ （牛头数一草的生长速度）；4）牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草

12、是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1. （牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数）+ （吃的较多的 天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。2. 牛的头数X吃草天数-每天新长量X吃草天数=草地原有的草

13、。解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“相对简 单些。“牛吃草”问题分析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐【华图名师姚璐例 1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10天，则 它可供 25 头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天，这 片草场可 供 25 头牛吃 Y 天根据核心公式代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-

14、5)=5(天 )璐例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它 可供多少头 牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天， 根据核心公式代入(20x10-15x10)=5 10x20-5x20=100 100-4+5=30( 头 )【华图名师姚璐例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草， 54 天后可以 吃尽， 17 头牛吃 28 公亩牧场的草 ， 84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草， 需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.3

15、5【华图名师姚璐答案】 D【华图名师姚璐解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供 X 头牛吃 1 天，每 公亩草场原有牧草量为 Y ,24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 Z 头牛根据核心公式：，代入, 因此，选择 D【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的 草量不再 是常量。下面我们来看一下上述 “牛吃草问题 ” 解题方法，在真题中的应用。【华图名师姚璐例 4 有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用 2 台抽水机排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台 同样的抽水机排水， 则用 16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完， 需要多少台抽

16、水机？【广东 2006 ±A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台 【华图名师姚璐答案】 B【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水 量，共需Y 台抽水机有恒等式：解，得，代入恒等式【华图名师姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8 小时， 8 台抽水机需抽 12 小时，如果用 6 台抽 水机，那么需抽多 少小时？【北京社招 2006A.16 B.20 C.24 D.28【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水 量，共需 丫小时有恒等式：解，得，代入恒等式【华图名

17、师姚璐例 6】林子里有猴子喜欢吃的野果， 23 只猴子可在 9 周内吃光， 21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果有 33 只猴子一起吃，则需 要几周吃光？(假定 野果生长的速度不变)【浙江 2007A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【华图名师姚璐答案】 C【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够 X 只猴子吃， 33 只猴 子共需 Y 周吃完有恒等式：解，得，代入恒等式【华图名师姚璐例 7 物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来 排队付款， 每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市 如果只开设一个收银 台，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，问如果

18、当时 开设两个收银台，则付款开始几 小时就没有顾客排队了【浙江 2006A.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6 小时 D.0.8 小时【华图名师姚璐答案】 D【华图名师姚璐解析】设共需 X 小时就无人排队了。例题：1、旅客在车站候车室等车，并且排队的乘客按一定速度增加，检查速度也一定, 当车站放一个检票口，需用半小时把所有乘客解决完毕，当开放2 个检票口时，只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了求增加人数的速度还有原来 的人数设一个检票口一分钟一个人1 个检票口 30 分钟 30 个人2 个检票口 10 分钟 20 个人(30-20)4-(30-10)=0.5 个人原有 1x30-30x0

19、.5=15 人 或 2x10-10x0.5=15 人2、有三块草地，面积分别是 5, 15, 24 亩。草地上的草一样厚，而且 长得一样快。 第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供 多少头牛吃 80 天？这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。因为第一块草地 5亩面积原有草量 + 5 亩面积 30 天长的草 =10x30 = 3 00 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300-5 = 60 份 因为第二块草地 15亩面积原有草量 + 15 亩面积 45 天长的草 = 28x45 = 1260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 1260-15 = 84 份 所以 45 30 = 15 天，每亩面积长 84 60