分式的知识点及典型例题分析

1、分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义:例:下列式子中，158a2b、9a 5a b 3a b215xy 1、2-x y23 2x y4a m6 x1、2 x1、3xy3、 、a中分式的个数为()22x ym(A)2(B)3(C)4(D)5练习题：(1)下列式子中，是分式的有耳；X1 :弓：3 :27 :丹 下列式子，哪些是分式？3a3 乂 7x xxy 1 b； 2； ； ； ； 5 x 4 y 8x 2y 452、分式有、无意义：(1) 使分式有意义：令分母工0按解方程的方法去求解;(2) 使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；例1:当x时，分式一有意义；x 5例2:分式 也中，

2、当x 时，分式没有意义；2 x例3:当x时，分式J 有意义；x21例4:当x时，分式有意义；x21例5: x， y满足关系时，分式-y无意义;例6:无论x取什么数时，总是有意义的分式是(A -x_1B.C.3x2x 1x31D.x 52_x例7:使分式有意义的x的取值范围为(A. x2B. x2 C. x2D.x 2A. 2要是分式(x 1)(x 3)没有意义，则x的值为或-3 C. -13、分式的值为零:使分式值为零：令分子=0且分母工0,注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例1:当x时，分式A 扩大100倍 B 扩大10倍 C 不变 D 缩小到原来

3、的丄10 2a的值为0;a 1例2:当xx21时，分式x 1的值为0x 1例3:如果分式'3 2的值为为零,则a的值为（）a 2A.2C.2 D.以上全不对例4:能使分式2：2 ；的值为零的所有x的值是（）A x 0Bx 1 C x0 或 x 1 D x 0 或 x 1例5:要使分式x2x 5x9 6的值为0,则x的值为（）或-3D 2例6:若-a-130,则a是（)A.正数B.负数C.零 D.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0的整式，分式的值不变。A ACC 0A A CB BCBBC例1:xya aby6x( y z)23(

4、y z);如果5(3ay z7(3a1)1)5-成立,则a的取值范7围是例2:ab21b cb ca3b3()a()例3:如果把分式b中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（）a bA、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变例4:如果把分式匹中的x，y都扩大10倍，则分式的值（）x y例5:若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（）2xA.扩大12倍 B.缩小12倍 C.不变D.缩小6倍例6:若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）3x2y3x2?3x2例7:根据分式的基本性质，分式 一-可变形为 a b3x3)D例8:不改变分式的值，使分式的分子、分

5、母中各项系数都为整数,0.2x0.012x 0.05，例9 :不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，1 x =1 x x25、分式的约分及最简分式: 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质. 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因 式. 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约 分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。F列式子（1）(2)(3)1 ；

6、 (4)亠丄3中正确的是（）x y x yA、1个 B 、2个 C 、3个例2:下列约分正确的是（）6A、笃 x3 ； B、0 ; Cxx y例3:下列式子正确的是（）AJ 0 B.1 C.八2x ya yx xxy1 ；D2xy21、 2xxyx' 4x2y2y zd. cdc dc d cd 0xaaa0例5:下列式子正确的是（b2a例6:化简3m2 m的结果是例7:约分:4x2y6xy23xy21xy ；1x50.6x3x 5y0例&约分:2a_2 a 4a 4a(a b) b(a b)ax ay""2 2 x y2x-2x 8x 16161 12m

7、m0.1a0.3b0.2a bx y(x y)2a 3b2a bx2 92x 614a2bc3321a3bcx29x2 6x 9例9:分式駅a ba2 b2，4a12(a b)土中'最简分式有（）A. 1 个 B 6分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把 分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型° “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：上 x最简公分母就是x 2 x 2 °x 2 x 2“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母

8、就是其一的那个 分母。例如：2最间公分母就疋x 4 x 2 x 2x 2 x 4“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分 母要有独特的；相同的都要有。例如:x2x22 最简公分母是：2x x 2x x 2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用， 仔细的去发现之间的区别与 联系。例1:分式一1m n2 , 的最简公分母是（m n2A. (m n)(mn2)B . (m2 n2、2)2 C . (m n)2(mn) Dm2n2例2:对分式上2xx3?通分时,4xy最简公分母是（A.2 4 x2y3C.24D.l例3:下面各分式:2 x2 x2 x2 x2y2y,

9、其中最简分式有（个。A. 4例4:分式占 ,a24例5:分式a与1的最简公分母为bB. 3C. 2D. 12a 4的最简公分母是1 1例 6: 分式 , 的最简公分母为 x y x xy8、分式的加减:分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么 类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因 式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。空二m例2:2a23 a2

10、4 =a21 a21例4：占亠亠x y y x x y计算（1）(2)2a(a b)2b2(b a)2例5:化简-x1 + -2x1 +3x等于13A . 2x B .2xC例 6: b caa bc例& xx619x 3x3xx)1156xD.6x例7:2a1a24 a 2例9:2xx 1x 1练习题：（1）b2ab2a(2)4x2 4b2(3)旦 a b a - b例 10:已知：x2 4x 30求二T1託的值ac = acbdbd 'ac. 工d . adbdbcbc分式的乘法：乘法法测:分式的除法：除法法则:例题：计算:26x2 ? 25x415x6 ' 39y

11、73 4416x y 56x1013125a100a22x 5y 10y3y2 6x 21x2求值题：（1）已知:-，求42 2x yx 2xy y2今的值。x xy求值题：（1）已知:求 xy yz xz的值。(2)已知:10x 252x x 0求xy2y的值。9、分式的求值问题：一、所求问题向已知条件转化1 x2例1已知x+1 =3,则42 的值1例2：若ab=1，则二的值为a 1 b 1例3:已知 x = 2, y=丄，求 一24竺三 -的值.2 (x y) (x y) x y x y由已知条件向所求问题转化例4:已知1 a -a3 ,那么a2丄a7例5:已知1 13 ,则 5x xy5

12、y的值为（)x yx xyy“7722A - BCD22772 . . 2例6:如果a=2,则aab b =b2 2 -a b例7:已知 y=3xy+x，求代数式 2x3xy2y的值x 2xy y例8:已知亠与旦的和等于纠，则a= , b =x 2x 2x 4例9:若 xy x y0，则分式1 ()yxA、-B 、 yx C、1 D、-1xy练习1:已知x为整数，且 2+丄 + 2： 18为整数，求所有符合条件的x值的和.x 3 3 x x 92:已知实数x满足4x2-4x+I=O，则代数式2x+丄的值为.2x10、分式其他类型试题：例1:观察下面一列有规律的数:其规律可知第n个数应是根据2

13、3j4_5_67_? ? ? ? ?3 815243548n为正整数)例2:是例3:(观察下面一列分式:m昊，根据你的发现，它的第8项x x x x x，第n项是按图示的程序计算，若开始输入的 n值为4,则最后输出的结果m是A 10 B 20 C 55 D 50例4:当x=时,分式 丄与互为相反数.5 x 2 3x例5:在正数范围内定义一种运算，其规则为 a b = 1 1，根据这个规则a bx (x1)33的解为2()A . x2B. x1c.x-或12D. x 或 1333例6:已知4ABxC则A,B,Cx(x24)2 xx41 1=1。 1 =nn 1n 1n 21 1 =。(3 分)n

14、 2 n 3 (本小题4分)1111n(n 1)解:(n 1)(n1n(n 1)2) (n 2)(n 3) (n1 1(n 1)(n2) (n 2)(n3)2007)( n 2008)1(n 2007)(n2008)11、分式方程：(1) 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。(2) 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母) ， 把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最 简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。(3) 解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

15、(3)解整式方程；(4) 验根.例1:如果分式的值为一1，则x的值是；2x 1例2:要使旦与亠的值相等，贝U x=。x 1 x 2例3:当m=时方程竺1=2的根为1 .m x2例4:如果方程-23的解是x= 5，贝U a =。a(x1)例 5: (1) 23(2)2x 1 1x x1x33 x例6:解方程：216x 2x2x24x 2例7:已知：关于x的方程1a无解，求< a的值x 33 x例&已知关于x的方程 a1的根是正数，求a的取值范围x 2例9:若分式丄与的2倍互为相反数，则所列方程为x 2 x 3例10:当m为何值时间？关于x的方程二x的解为负数?例12解关于x的方程：

16、异走(a 0)例13:当a为何值时,x騎角的解是负数?例14关于x的方程丄x 2(x 2)(x 1)的解为负值，求m的取值范围。12、分式方程的增根问题：(1) 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0, 二是其值应是去分 母后所的整式方程的根。(2) 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的 值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解。例1:分式方程+1: m有增根，则m_x 3x 3例2:当k的值等于时，关于x的方程k2x 3例3:右方程4有增根，则增根可能为(x 2 xx(x2)A 0B、2C、0或2D13、分式的应用题：4

17、x不会产生增根x 3)、1(1)列方程应用题的步骤是什么？(1)审； 设；(3)列； 解；(5)答.(2)应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a. 行程问题：基本公式：路程=速度x时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b. 数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c. 工程问题： 基本公式：工作量二工时x工效.d. 顺水逆水问题: v 顺水=v静水+V水. V 逆水=V静水-V水.工程问题：例1： 一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程 小时rfn例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120 个字所用的时间和小张打钟

18、，则列方程正确的是(A型倒 Bx 6 x180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分)180C 120180D 120 180xxx 6xx 6120x 6例3:某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队独做，恰好如期完成；如果乙 工作队独做,则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独 做,恰好在规定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为x天，下面所列方程中 正确的是（）2 x2311x2lx”A.1 ； B.； C.21 ； D.1x x 3x x 3x x 3 x 3x x 3例4：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时， 发现平时每天要多读

19、21页才能在借期内读完.他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页,则下列方程中，正确的是（）A14014014 B、28028014xx 21xx 211010140140C1 D 、14xx 21xx 21例5:某工程由甲、乙两队合做6天完成，乙、丙两队合做10天完成，甲、丙两队合做5天完成全部工程的-。求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少3天？价格价钱问题：例1: “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3元钱车费，设参加游览的同学共 x人，则所列方程为（）A.1

20、801803xx 2D.1801803x 2x180x 2180x180x 2例2:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已 知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第 一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人 进行捐款？顺水逆水问题：例1: A B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地则可列方程（48484 x 4 x逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静 水中的速度为x千米/时，48x 496x 448x 496一只船顺流航行例2：2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为x 490km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是xkm/h，则可列方程（）90 _ 6090 _ 6090_60,60_90A、x 2 = x 2 B、x 2 = x 2 C、 x +3= x D、 x +3= x例3:轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水 流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。行程问