《导数的概念》

1、导数的概念教案A版）数学选修2 -2第本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ 一章第一节的变化率与导数，导数的概念是第 2课时.教学内容分析1 导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限， 反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、 不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济 学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具2 本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样处理的原因，一方面是 因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认

2、识的基础上学习.所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数.基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一 时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的.导数概念形成过程由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程的二种方式进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速

3、度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变 化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想.教学目的1 使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向 于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就 是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4 通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5 通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过

4、程.教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念.教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.教学准备1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2 .为学生每人准备一台 Ti - nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3制作数学实验记录单及上课课件.教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导 数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质.教学的主要过程设计如下：教

5、学过程设计预计时间(分)教学内容教师活动学生活动5分钟(1)提问：请说出函数从 xi到X2的平均变化率公式.回答问题后理解:设计意图： 让学生理解 平均速度与 瞬时速度的 区别与联 系，感受到 平均速度在 时间间隔很 小时可以近 似地表示瞬 时速度.(2) 提问：如果用X1与增量 x 表示平均变化率的公式是怎样的？(3) 高台跳水的例子中，在时间65段0,里的平均速度是零，而实际49上运动员并不是静止的这说明平均 速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态.(4) 提问：用一个什么样的量来 反映物体在某一时刻的运动状态？(5) 提问：我们如何得到物体在 某一时刻的瞬时速度？例如，要求物 体在2S

6、的瞬时速度，应该怎么解决？(6) 我们一起来看物理中测即时 速度(瞬时速度)的视频：(7) 提问：这里所测得的真的是 瞬时速度吗？(8) 提问：怎样使平均速度更好 的表示瞬时速度？(9) 在学生回答的基础上讲述： 真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速 度的近似值；为了使平均速度更好的表示瞬时 速度，应该让时间间隔尽量小.(1) f(X2)-f(xj .X -X1(2) f (X1：x) f (xjZX(3 )学生在教师的讲 述中思考用什么量来 反映运动员的运动状 态.(4 )让学生体会并明 确瞬时速度的作用.(5)学生思考.(6 )学生观看视频并 思考.(7)期望或引导

7、答出 “是平均速度”.(8 )学生回答，得出“时间间隔越小越 好！”(9 )学生体会教师所 讲结论.教学评价(1)复习过程应 使学生明确函数 的平均变化率表 示.(2)应使学生明 确平均速度与瞬 时速度的关系， 为下一阶段实验 活动作铺垫.2 体会模型15分钟设计意 图：让学 生在信 息技术 平台上， 通过定 量分析 感受平 均速度 在时间 间隔越 来越小 时向瞬 时速度 逼近的 过程.(1)向学生提出数学实验任务： 已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数 h(t) = 4.9t2+6.5t+10，请你用计 算器完成下列表格中to=2秒附近的平均速度的计 算并填充好表格，观察平均

8、速度的变化趋势.x 0 时，在2 , 2+xXV 0 时，在2+x, 2内，h(2 +-x) h(2)x内，V-hh(2+x)-XXvxv0.10.10.010.010.0010.0010.00010.00010.000010.000010.0000010.000001数学实验记录单(1)你认为运动员在to=2秒处的瞬时速度为m/s.(2)提问：x、g(x)的含义各是什么?卜*耒保存歇E3-4,?+&.s-r+ic克盘雎+-祇)_*)X(3) 提问：观察你自己的实验记录单，你能 发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他 的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一 起

9、观察.(4) 将学生分四个组，让他们分别完成to=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单(2)的 填写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上.t0=1.6V t -9.18t0=1.7V t -10.16t0=1.8V t -11.14t0=1.9V t -12.12t0=2V t-13.1在学生实验与观察的基础上指出：当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确 定的常数，这个常数就是瞬时速(1)学生在 TI nspireCAS上完成以下操作：111 | *耒慄存如El-4.9 X2+&.S /+1C立成(2)学生操作得出如下 结果，完成数学实验记 录单(1 )的填写：iKL.ffi

10、Q-13.500000000 $-13.1490000000s(O.OOl)-13.1000000E-4)-13 1004900000S(1 E-S)-13.100040i：i0-13 10PQQ50PQQ E曲il12610KOW-13.O5LK0：O-D.MSmM-倔和飞胡13.aw?s：o Ii3(3)让学生讲他所发现 的规律.(4)学生分4个组再次 实验，分别完成本组的 数学实验记录单(2)的 填写，并观察平均速度 的变化趋势，回答教师 的提问.(1 )应 使学生 在技术 平台上 通过多 次实验 感受到 平均速 度在At t 0时 趋近于 一个常 数，并理 解这个 常数的 意义.(2

11、)应 使学生 从感性 上获得 求瞬时 速度的 方法.103 提炼模型设计意图：使 学生认识到 平均速度当 时间间隔趋 向于零时的 极限就是瞬 时速度，为给 出导数概念 提炼出一个 具体的极限 模型.：t（1）学生思考，也可以讨应使学论.生通过（2）学生化简动手计to=2处对应的算，得平均速度的表到平均达式，观察当速度在 u O时平均At t O速度表达式的时趋近变化趋势.于一个（3）学生化简常数，to=1.6处对应并且这的平均速度的个常数表达式，观察就是瞬当厶tTO时平时速均速度表达式度使的变化趋势.学生理解极限（3）学生化简符号表任意时刻to处示的意对应的平均速 度的表达式， 观察当 j O

12、 时平均速度表 达式的变化趋 势.（4）学生根据 教师的讲解理 解平均速度的 极限的意义.义.（1）提问：你认为通过实验所得结果（常数）就 是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？（2 ）让学生动笔化简to=2对应的平均速度的表达式.（化简结果为-4.9强一13.1）（3） 引导学生从化简的表达式中发现当t）0时， 一49 ：t 13.1； 13.1 （4）让学生动手化简 to=1.6对应的平均速度的表 达式.（化简结果为-4.9.讥-9.18）启发学生归纳出结论： t 0时，平均速度所趋近 的这个常数是可以得到的， 它不是近似值，是一个精确 值，它与变量 t无关，只与时刻to有关.（5

13、） 提问：我们得到了t o=1.6、1.7、1.8、1.9 时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的瞬时速度，能不能用同样的办法，得到to时的瞬时速度？启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一起 总结出：f _ h（t。氏）-h（to）.厂.:t二 一9.&。一4.9 t 6.5-9.8to 6.5（ 4 、O）.（6） 教师讲解：用Hmh th to表示v所 趋近的常数，即 lim h to J to = _9.8to 6.5 今 后把这个常数叫做在 t = to处，当氏趋近于O时，平均 速度v的极限比如，13.1是在t = 2处，当 t趋近 于O时h 2 h 2的极限.5应用概念设计意图

14、学生进 理解导数概 念，体会导数 的应用价值， 氯形成求导数 勺步骤. 设计意 图：完 成从运 动物体 的瞬时 速度到 函数瞬 时变化 率的过 渡，形 成导数 的概念 并给出 定义.化率道: 说， 系？(1 )提问：你能说说求函数 y=f(x)在x= xo处勺导数的步骤吗?：教师在学生说的基础上要总结出步骤.華)讲剧1： i瞬时速度将原油精练为汽油、 柴油、塑胶等各种不冋 如果第 X( h)(1)学生思考 并交流求函 在o处的 数的步骤.勺导产品需要对原油进行冷却和加热.J& O 1解时锂原油的温度銚率C)为:禹X=x+f5o化，师(2 )在教师讲 解完后完成教-J 提习.(1生是否清楚 求导

15、数的步 骤.(2 生能)检查学)检查学 彳否准确幺xw 8).计算第2 ( h)和第6 (h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.(2)针对上述图示，教师在启发后提问：通过前面的小时旳瞬们知道平均速度就是说数在第2(t)的平均变 小时速度就是油大约以3勺瞬时变化度下降我们 平均速度在 t o.时的极限就是瞬时速度.那么，你能 一般情况下)提出数勺平均变化率与瞬时原油溫率是一个什么关 变化率，表述你所得结果的意义.求出回答1已经知否说3)的意义(3)在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的后提问：函数f(x)在X=Xo处的瞬时变化率怎样表示? 教师介绍如下的的表示方法：函数f(x)在x

16、= x0处的瞬时变化率可表示为.也f.f (Xo +Ax) - f (Xo)limlim x ：XX o关系(4)教师给出导数的定义:函数f(x)在X=X0处的瞬时变化率.x_QX.X-0 .X称为y = f(X)在X = xo处的导数，记作 喉)或yfT?即f(X)f 区)pmf(x)X)-f(Xo)地求出函数 在某点的导 数.(3 生能在结 教师导数 发变化 考义！ 的平 变化 与瞬思、 数 均 率时变化 率之间 的关系.(2)回答教师的提问.(3)理 解函 导数 概念 导数数 的 与 的表示方 法.)应使学 彳利用计 果解释 生从“平 率均遮度 的极限 是瞬时 速度”这 个具体 的模型 中抽象 出导数 的概念， 并能理 解导数 是一个 极限，明 确导数 的表示.56 小结作业 设计意图：让 学生通过总 结，进一步体 会导数的意 义及极限的 思想，训练学 生的概括能 力.通过布置 作业，巩固所 学内容.（1）让学生小结并交流.（2）教师总结：本节课学习了导数的概念，在这个过程中我们看到：数学使不可能的事情变成现实；导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零 时，函数在某点的平均变化率