《平面几何》知识要点

1、初中数学平面几何知识要点一、平行线与三角形1. 平行线的判定与性质（1）同位角相等0两直线平行；（2）内错角相等。两直线平行;（3）同旁内角互补=两直线平行.注意：证明平行线的方法还有：（4）平行于（或垂直于）同一直线的两直线平行；（5）平行四边形对边平行；（6）三角形（梯形）的中位线平行于第三边（上下底）；（7）一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边.2. 三角形的一般性质（1）三个内角的和等于180度：（2）一个外角等于与它不相邻的两内角的和；一个外角大于与它不相邻的内角.（3）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 全等三角形（1）能够互

2、相重合的两个三角形叫全等三角形.（2）判定两个三角形全等的一般方法可简记为?SSS, ?SAS, ?ASA, ?AAS.特别地，两直角三角形全等还可用旦L（3）全等三角形性质有对应边相等，对应角相等，对应线段（中线、角平分线、高）it笠，面积相等.注意：全等的判定条件中至少有一边等，对一般三角形而言，“边、边、角”和“角、角、角”不一定全等二、等腰三角形和直角三角形1. 线段中垂线、角平分线的性质（1）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等.它的逆定理是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.（2）角平分线上的点到角的西边距离相等 .它的逆定理是（在角内部）到角的两边距离相等的点在

3、角的平分线上.2. 等腰三角形的性质,性质，（1） /8C中，4B = 4C = /R= / ？（“等边对等角"、“等角对等边”）判定一（2） 等腰三角形底边上亶、中线及顶角角平分线三线合一.3. 等边三角形的性质性质（1） 如。中，AB = AC = BC" ZA=ZB=ZC .SABcA a2 （其中。是正三角形的边长）I r. !XA. DA4（2）有一个角为顼一度的等腰三角形是等边三角形4.直角三角形的性质性质(1)RtAABC 中，ZC = 90 ° =七 + 23=90°判定(勾股定理) ZC = 90 °( AC )2+( BC

4、)2=(如)2./ 、 A,性质1(2)RtAABC 中，CM是斜边上的中线 o AM = BM = CM =-AB 判定 2若 RtAABC 中，ZC=90 ,则有 /=30 ° =曲=2 BC.三、平行四边形的性质(1) 两组对边互相平行的四边形,叫做平行四边形.(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补，(2)对边相等,(3)对边平行，(4)对角线互相平分.(3) 要证明四边形是平行四边形，可以证(1)两组对边相等，(2)两组对边 平行,(3)两组对角相等(4) 一组对边平行且相等,(5)对角线互相平分.注意：平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形四、矩形、菱形、正方形

5、的性质和判定1. 矩形、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质2. 矩形的四个角都是直角，对角线 相等.3. 菱形的四条边相等,对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角s酬=边长x高=上对角线的乘积？4.正方形同时具有愛形和 菱形的性质.S正方形=(边长尸=?(对角线)-施画有一个角为(直角)或对角线(相等)有r4)个直角有(4 )条边都相等有一组邻边 相等) (或对角线互相(垂直)5.恒画或舔端脖 矩形、菱形和正方形的判F .有一个角为(或对角线(直角)相等)五、梯形1. 梯形的中位线：平行于 底边 且等于 两底和 的一半.2. 梯形高为加上、下底分别 为a、b,则梯形面积S梯形=

6、如+羽.若梯形的高为如中位线为e则梯形S梯形=.3. 两腰 相等=等腰梯形.或同一底边上两个内角相等=等腰梯形.还有对角线相等相等=等腰梯形.思考：梯形中常用的辅助线有哪些?六、相似三角形1、比例线段(1) 如果d是a、3、c的第四比例项，贝IJ其比例式是a： b=c : d .:_c.如果3是a和c的比例中项，贝U a : b= ba c(3)比例的基本性质：一 =一 =ad=bc ?b d线段的黄金分割点：点P为线段的黄金分割点(4P<BP) U>4P(短)_ BP(长)_ 打-1BP(长)一0B (全)一2(5)平行线分线段成比例定理：如图，AB/CD/EF,则(上、下、全对

7、应成比例)2、相似三角形1. 定义：对应角 相等,对应边 成比例n两三角形相似.2. 相似三角形的判定(1)如图，NAB(中，DE/BC且交AB /C所在的直线于E,则左ADE ABC 些位置，画岀图形.)(2) 两角对应相等=> 两三角形相似.(3) 两边对应成比例且夹角相等相等n两三角形相似.(4) 三边对应成比例n两三角形相似.(5) 斜边与一条直角边对应成比例=> 两个直角三角形相似.(OE可能在哪3.相似三角形的性质相似三角形n对应线段(高，中线，角平分线)及周长的比等于(2)面积的比等于相似比的平方相似比七、解直角三角形1.锐角三角比：(1)锐角三角比定义：在RtAAB

8、C 中，ZC=90 ,a, b, c分别为/A、ZB, /C 的对边，则abab ,cotA=sinA= , cosA=二Ita nA=acc(2)特殊角的三角比：b三角30°45°60°sin aaV22V32cos aV322722Rtan。V3312 后coia13(注意识记的方法)2 2(1) 三边之间的关系：？ +i =(2) 锐角之间的关系：+90 度(3) 边角之间的关系：(4) 面积 S&bc =5 =珈，ZC=90(I )视线3. 在实际问题中解直角三角形.（1）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角.如图中的坡面的垂直高度汽与水平宽度/的

9、比叫做坡度，用/表示，图中，坡度,? =（“）= tan A .（一般写成1：，"的形式）（2）仰角和俯角视线与水平线的夹角叫做视角.视线在水平线上方 视线在水平线下方 的视角叫做仰角；的视角叫做仰角仰角*俯角-水平线视线八、圆的概念和性质1. 用点的集合来定义圆、圆的内部、圆的外部，从而推出了点与圆的位置关系：点在圆外=d > r,点在圆上=d = r,点在圆内 d < r.2. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆3. 圆的对称性：圆是轴对称图形，又是中心对称图形（1）由圆是轴对称图形推出垂径定理及推论.推出圆（2）由圆是中心对称图形，并且具有旋转不变性（圆

10、绕其圆心旋转任意大小的角度，都能与原图形重合）心角、弧、弦、弦心距四者相等关系定理及推论弦所对的两条弧.如图:4. （ 1）垂径定理：乖直于弦的直径平分 弦,并且 平分CD是直径CD 1 A8 于 EC2J是直径AE = BE（AB不是直径）总结.二条直线如果具有过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优（劣）弧 四个条件中的任意两个，就能推岀其余两个。（2）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相 等，所对的弦相等，所对应的弦的弦心距相等_.总结：在同圆或等圆中，圆心角 弧、弦、弦心距四组量中， 只要任意一组量相等，其余三组量也分别对应相等。九、直线和圆的位置关

11、系1. 由直线和圆的公共点个数定义直线和圆的位置关系:直线和圆：（1）有两个公共点时，叫做直线和圆相交；有唯一公共点时，叫做直线和圆相切;相离相切相交2. 由圆心到直线的距离 d与圆半径r大小的比较来判断直线与圆的位置关系直线和圆相交<=>d<r ；直线和圆相切。d=r ；直线和圆相离。d>r.3.切线的判定：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线思考：要证明一条直线是圆的切线何时用判定（1）?何时用判定（2） ?4.切线的性质：圆的切线垂直于 经过切点的半径；思考：如何作辅助线应用切线性质解题?十、圆和圆的位置

12、关系两圆外离、外切、相交、内切、内含等5种位置关系是通过两圆的相对运动，观察两圆的相对位置和公共点的个数来定义的.1.两圆五种位置关系的判定方法:设。1，和。2的半径分别 为R r （R>r),两圆心的距离。1。2=比那么两圆的位置关系为：两圆外离<=>d >R+r；(2)两圆 0 d=R+r ；(3)两圆相交<=>Rr<d<R+r-,两圆 v=> d=Rr-,(5)两圆 v=> d<Rr.思考:两圆同心与两圆内含有何关系？I旳円，-r2.两圆位置关系的有关性质： 相切（内、外切）两圆的连心线 经过 切点.（2）相交两圆的连心线垂直平分它们的公共弦十一、圆周长，面积，弧长，扇形面积，弓形面积计算公式：（r表示半径，表示扇形中弧所对的圆心角）圆周长：C=2w圆面积：S=irr弧长：仁丿一-2m-360扇形面积：SA=A- = -lr扇形360弓形面积：S弓形OABSAAOBS弓形如=8扇形0初b + SAA0B-十二、正多边形与圆:1. 多边形的内角和、外角和n边形的内角和=,n边形的外角和=2. 正多边形的对称性(1) 正n边是轴对称图形，有 n条对称轴；(2) 正n边形是旋转对称图形，最小旋转角为迎人；n(3) 当n为偶数，正n边形是中心对称图形；3. 正多边形与圆(1) 正多