《线性代数》题库及答案

1、线性代数题库及答案2.A. 6DB. 12DC. 24DD. 36D设A为n阶方阵，R （A） =r<n,那么:A. A的解不可逆B.冈=0C. A中所有r阶子式全不为零D. A中没有不等于零的r阶子式3.设n阶方阵A与B相似，那么:P,使 P 'AP = BB.存在对角阵D,使A与B都相似于Da%2%3a2%23%1.如果D=a2a22a2,则行列式2a24a226八3的值应他3为o31a _ _32他3偽6Q329o33aan如aa _ _32他存在可逆矩阵4.如果D =A.一、选择题2AA2=3 则A. 62A22 A2他3B. -93Q3213A %32A22 _3色 2

2、AA23 32AA33%2%3C. -3D. -65.设矩阵人=（竹/）叽,mvn,且 R (A)二 T,那么:B. r<nA. r<mC. A中r阶子式不为零D. A的标准型为，其中E为r阶单位阵。W丿6. A为n阶可逆矩阵，2是A的一个特征根，则 A的伴随矩阵4*的特征根之一是:A.刊 4 |" B. 2|A|D.2|A|"3x + 幼 + z = 07.贝! U应为：kx-5y- z = 0如果< 4y + z = 0有非零解,oA. k =0B. k=lC. k =28.设人是n阶方阵，且/?（ ）= 一2, A*是A的伴随阵，那么:D? k =-

3、2oA. A* A0B.人(4*) = 0C. A* =|A|"' D. a(A*)<29.设 A 为 mxn 矩阵，齐次线性方程组 AX=O 仅有零解的充要条件是：A. A 的列向量线性无关B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性相关D. A 的行向量线性相关kx + z = Q10.如果 2x + ky+z = 0有非零解，则 k 应为： 、kx 2y + z = 0A. k = Q B. k = 1C. k = 211. 下列命题正确的是B.若AAB则制工网D. A 2 -E 2 =(A+E)(A-E)A. （AB/ = A rBrC设A、B为三角形矩阵，

4、则 A+B为三角矩阵12. 矩阵 A、B 相似的充要条件是 A. A 与 B 有相同的特征值B. A 与 B 相似于同一矩阵C. A 与 B 有相同的特征向量D. 4* 形似于二、填空题1. 行列式与它的转置行列式的值是 。2. 矩阵人沁”的 K 阶子式共有 ；3. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有4. 行列式的某行 （ 列） 加上另一行 （ 列）的 k 倍，行列式的值 。1 2-2、5. 设 4= 4（3, B 为三阶非零矩阵，且的 =0,贝 V 匸 。3 1 1J6. A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P,使 则称A与B相似。0 ?- 入? ?. _ o2” ?- ?o1 23、8

5、.若矩阵 2 1 k 的 7?(A) = 2 ,则上= 0 1 1J加 1 +兀 2 +兀 3 =09若方程组兀1 +加2 +兀3 = 0仅有零解，则2应满足的条件是 兀 +兀？ + 加 3 - 0X 1110.等于,/的系数设多项式/(X)= 12兀兀则/(劝中十的系数等于11. 已知 a =3), 0 = (3, 2, 1),且 a 与 ka + /3 正交，则£=(1 212. 设A是'3阶方阵，且| A|=-3,则行列式|34"|=(13.矩阵A =102,B =31-1 2一13440则AB的秩是(03丿<11(5 -11 0 0、14.设 4 =则

6、 A-'=(15若线性方程X3 + X4 = ci 3X + 'X2 = -Clxx, + x, = a.'-有解，则常量a,a7,a3,a4应满足条件X4 + X = Cl 416.设4阶方阵AA(A,A2,A3,A4),BA(A,A2,A3,B4),其中 A, A2, A3, A4, B4 都是四元列向量，己知制=1,同=2,则行列式|4 + 2国=()DI17已知矩阵A=PQ,其中P二兀!-V. -1,2),贝U矩阵A100=(18.设 A<11 2、 0 32(°0 -1J,B =<12 4 1、2 4 8 2 <3 6 2 0;，则

7、秩(AB) =(三、证明题5耳（）舟,的一切线性组合心 +切1+心 2+?*”其中XX i ,是方程组（*）的全部解 7=0 四、计算题1已知 n 阶方阵 A、B,其中 A = （aAa2a”）, B =（久旳.an）, |A| =1,|B| =-3,求A + 3耳o（12_3）2.矩阵A =32-4求,2-1 0A"3.设三阶方阵A = ?.的每行元素之和均为3,且 AB = 0,其中 B= 01 21-2 0ab0000ab ?00a ?4.计算n阶行列式£ > =00000000bb000a（1） A能否与对角矩阵相似 ？（2）求A。235.矩阵4 =21-10

8、-121求4 "o1 a -36.已知矩阵4= -14-3的特征多项式有重根，问：参数a取何值时，A能与对角矩阵相似？1-251111107.计算1010110111'2 18.矩阵4= 210求犷I -19. 设三阶方阵 A 满足 Aa =0, Aa2= 2a + a2,Aa3 -ax +3?2 -a3,其中：ocx 1,1,0,tz2 = o,l,lr,a31,0,if(1) 证明：A能与对角矩阵相似。(2) 求岀A及相似对角矩阵 Ap >广、1求向翩1二12 > a2 -0t O£ 1 =22的一个最大线性无关组，并将其I丿Li10.设三阶行列式满

9、足|3A+2牛0, |A-E|=0, |4E_2冲=0,计算国。16、计算题-1-a若A不能与对角矩阵相似，求参数ao1'1 -1 -j -1 1 -1 -212.设 4= -a a-1 213计算n阶行列式2 1 ? 113? 1D,一：11? ? n14计算题Xj + X 2 - 3X4 -求齐次线性方程%X 5 = 0 2 +2X3 - X 4=0=0 - 2X2 + 6X3 + 3X4 - 4X52x 1 + 4X2 - 2X3 + 4X4 -7X5 = 0的基础解系及通15、计算n阶行列-% a2a x 2D”,其中 Xj 工 a “l<i<n求矩阵X ,使得X0

10、 22=1 101 -102 11、 选择题 线性代数作业参考答案1. D2. B3. A7. B8. B9 . A填空题4.D5. B6. C10.C11. D12. B相等23. n 个线性无关的特征向量4. 不变5. t 二-36. P1AP = Bn(n-l)7. ( 1尸也2”8. k 19. 2 工 1 且兄鼻 210. 2, -25II. k 二12. % + 色 + 02 013. -9 ;14.3 :15.0 3-01 3丿16. 81;17. 2" 4 -18.2 4(2 -1 2)2 ；12 -1 2 ;三、证明题1证：由题设a是三阶方阵，2.证：由 A?-3A

11、-4E = 0,即：A2-3A = 4Ei313A (A-3E )A ( -a -E)=E即A可逆，且 Aa1 =-A=4EE。3.证：由题设：AAt Aae4444所以 A + B = BB tA + BArA| = B= ( BT = Ar) A| = |fi| ? | (B + A) T |A| = -|A|2 |A +即：(I + |a|2 ) |a+b| = O 只有 |a+b|=o 证毕。4.因A/o=b,A” =0,z = 1,2,?,?r，则Aq =b，因此，久,是方程组(*)的线性无关解。=0,两边设 + A71 + 初 2 + + 5-r'H n-r= °

12、，贝 0( A) + 入 + -r )7o + A/1 + A2 丫 2 H +<-rY n-r左乘A得，(2o + Aj H a” _r) b = 0,有2°+人A_= 0,于是几1耳1 +几2耳2几” 一刀”= 0,可得线性无关。5. 显然切0 +働+切2 +心一，刀”一r是解；另一方面，设 ?/为任一7? = % + 31 + k2 + + kn-rYn-r = 1 - g + + * ”.)% + 心 771 + 切 2 + + K-a|n-r四、计算题1.解:|A+3B| =|?+3/7j,4cr2,4昂|=4"T 闽 + 30i, a?,aj = 4,1_

13、1 (a,a2,% | + 3憾,a?% |)=4n-1 (i_9) = -2n+1 o12-32.解：国=3 2- A的代数余子4=1,2-10T411 = 4, Ai2 二一8, A13 = 7, A21 = 3, 6,= 5, A32 = 5, A33 = 43解：（1）令.0i由题设AB = O,既有AA1人21 企4 3 -2、1 1 1、A'1 =占"二 A* 二Al2短2人32-8 6 -5lAl、绻人23人33 >-7 5 -4卩、=,则2 2（01,02 ），40 = 0, A/32 = 0,这表示0,民是A的属于特征值 0的特征向量。取角 =（1,1

14、,1）r ；由题设A的每行元素之和为3,则A% = 3庆即角是A的特征值为3的特征向量，又1 2 101 1 =-1A0，故肉，02, 03线性无关。这表示 3阶方阵有3个线性无关的特征向量-2 0 1所以A能与对角矩阵相似。 0 0、由（1）令 P = （0,02，03），P 可逆，且 PlAP= 0 0 00 0 3 丿°0 p1 =3丿10<-2lYo0 （-10 23、-36-6<-1212124.解：D = a"+（ 1）"+/"（按第一列展开）2235.解：|A|=1-10=-1-121求伴随矩阵A* A的代数余子式：A】=1,A

15、2 = 1,A3 = 1, A 21 = 4, A22 = 5, A23 = 6, A31 = 3, A 32 = 3, A 33 = 4-4 _3、-5 -364 ,6.解：计算A的特征多项式0 -17.解：°0 -1-10-11 101=-41A 1 a 3/(A) = AE - A| =12-43=(2-2)(A 2 -82+ 10 +a)-122-5由题设/(刃=0有重根，故分两种情况：(1) 2 = 2 是重根，则 g(2) = 22-82 + 10+tz 含有(2-2)因子，g(2) = 0/(2) = (2-2) 2(2-6)得 a=2,此时可得岀R(2E-A) = 1

16、,所以属于(2-2)的特征向量的重数3-1=2,加之特征根2 = 6的特征向量，A有3个线性无关的特征向量，故此时A能与对角矩阵相似。2 = 2不是重根，则才一82 + 10+a是完全平方项，由此得a=6,此时/(刃=(2-2)(2-4尸 即对应2 = 4的无关向量个数为 3-2=1,故此时，A不能与对角矩阵相似。11100 111-10 =3,求A的伴随矩阵"的元素。-1两边同时左乘P"有2 =2PiAP = B即A? B。而相似矩阵有相同的特征A -2从而 AE-A =AE-B =9. (1)证：令 P = (6Zj,6Z,6Z0 2-1A33 1-32 +An1人32

17、人22人23人33丿=2(2-1)(2 + !)f 13_ 2_ 3-1丄32_30AP-(O2?, +a 0 21)(Q 2 -1、0 1 Z 3记豪0 13,0 0 -1110 2 -1,既有AP = PB 而P可逆7?Z| + 3c(-,)-11-2121-2-100对角阵人(2) A =,pBP'2_E| = 0,10.由已知得：A + E = 0, = 0,可以看岀三阶方阵 A的三个特征值为:=-,22 =1,23 =2,故A与对角矩阵相似，且A| = 22223 = c11.解：令A = (a 1砂心砂)可求岀R(A) = 3可知最大线性无关组的向量个数为3,因0,&

18、;2 ,划工0所以?,? 2,? 3即为一个最大线性无关组。'8-2TT7274'4、1正交化：取0=V(4/03'02?02-2921 2X 1_141432 7厂2B =a “3 0i. B A 302-01, 02, 03两量正交？12.解：A的特征多项式为：2-12fw = aA-aa = 2(2-2)(2-a)1-2 2-1所以A的特征值为：入=0,人=2,希 =a(1)当a 乂 0且a工2时，与题设矛盾11、89丿-1当a =0 时 OE-A =0 、Or3 +RlV101 -2n00丿2 = 2的特征向量，则 A可与对角阵相似，与题设矛盾。(3)当a = 2时，R(2E-A) = 2则属于二重根 2 = 2的线性无关特征向量，个数为3-2=1故此时A不能与对角矩阵相似，符合题意，即a = 2.(X16、兀d |a2"A2 d 2?.* ? 0aa?-ax - Xx0?+ (XI -)T1aX,.-?,)(、总a:X+ (X1 aj5?a”i=2兀一a,0X2 a2 ? 000 .? x ”一 a”13nl(2 + - + -+ ?