14不等式的证明(三)教学课件（北师大版选修4-5）

1、课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动4不等式的证明（三）不等式的证明（三）1理解反证法和放缩法的概念理解反证法和放缩法的概念2会用反证法和放缩法证明较简单的不等式会用反证法和放缩法证明较简单的不等式学习目标学习目标课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动放缩法放缩法：将所要证明的不等式，通过：将所要证明的不等式，通过_ (或或_)分式分式的分母的分母(或分子或分子)，或通过，或通过_ (或或_)被减式被减式(或减式或减式)来证明不等式来证明不等式几何法几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法不等式的

2、方法称为几何法反证法反证法：反证法是常用的证明方法，它是通过证明命题结：反证法是常用的证明方法，它是通过证明命题结论的论的_不能成立，来肯定命题结论一定不能成立，来肯定命题结论一定_，其证明，其证明的步骤是：的步骤是：(1)作出否定结论的假设；作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出进行推理，导出矛盾；矛盾；(3)否定假设；肯定结论否定假设；肯定结论预习自测预习自测缩小缩小放大放大放大放大缩小缩小否定否定成立成立123课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动提示提示存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现现“至少至少”、“至多至多”、“

3、全都全都”等字词的命题或不等式等字词的命题或不等式提示提示推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等推导出的矛的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等推导出的矛盾必须是明显的盾必须是明显的提示提示(1)舍掉舍掉(或加进或加进)一些项一些项(2)在分式中放大或缩小分子或分母在分式中放大或缩小分子或分母(3)应用基本不等式放缩，如应用基本不等式放缩，如a2b22ab.自主探究自主探究1哪些命题或不等式适合用反证法证明？哪些命题或不等式适合用反证法证明？2用反证法证明不等式时，推出的矛盾通常有哪几种类型？用反证法证明不

4、等式时，推出的矛盾通常有哪几种类型？3你能归纳出常用的放缩方法有哪些吗？你能归纳出常用的放缩方法有哪些吗？课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【例例1】典例剖析典例剖析知识点知识点1放缩法证明不等式放缩法证明不等式课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【反思感悟反思感悟】 用放缩法证明不等式的过程中，往往采用用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项添项“添舍添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂

5、讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【例例2】知识点知识点2几何法证明不等式几何法证明不等式课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【反思感悟反思感悟】 本例中待证的不等式类似于三角形的三边本例中待证的不等式类似于三角形的三边关系，又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构形式，关系，又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构形式，注意到这两点，证题思路就会跃然纸上注意到这两点，证题思路就会跃然纸上课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动 已知：已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：求证：a0，b0，c0.证

6、明证明假设假设a、b、c不全是正数，不全是正数，即至少有一个小于或等于即至少有一个小于或等于0.又又abc0，不妨假设，不妨假设a0，则，则bca0，a(bc)0.a(bc)0，又，又bc0，bca(bc)0.即即abbcca0矛盾矛盾假设不成立假设不成立故故a0，b0，c0成立成立【例例3】知识点知识点3反证法证明不等式反证法证明不等式课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动【反思感悟反思感悟】 用反证法证明不等式，其实质是从否定结用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命

7、题成立结论，从而肯定原命题成立课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一放缩必须放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等缩等 利用几何法要抓住待证不等式的结构特点充分类比、联利用几何法要抓住待证不等

8、式的结构特点充分类比、联想、转化到已知的几何图形、结论、定理上，然后构造几想、转化到已知的几何图形、结论、定理上，然后构造几何图形，将要证的不等式转化为图形上的问题予以解决，何图形，将要证的不等式转化为图形上的问题予以解决，从而将数与形有机地结合起来从而将数与形有机地结合起来课堂小结课堂小结12课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面当结论的反面呈必须先否定结论，即肯定结论的反面当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的能，反证都是不完全的(2)反证法必须从

9、否定结论进行推理，即应把结论的反面作反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等推导出的矛盾必假设矛盾、有的与已知事实相违背等等推导出的矛盾必须是明显的须是明显的3用反证法证明不等式要把握三点：用反证法证明不等式要把握三点：课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动

10、设设a、b、c(0，)，Pabc，Qbca，Rcab，则，则“PQR0”是是“P、Q、R同时大于零同时大于零”的的 ()A充分而不必要条件充分而不必要条件B必要而不充分条件必要而不充分条件C充分且必要条件充分且必要条件D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件解析解析必要性是显然成立的必要性是显然成立的当当PQR0时，若时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设负，一个为正，不妨设P0，Q0，R0，则，则QR2c0矛盾，即充分性也成立矛盾，即充分性也成立答案答案C随堂演练随堂演练1课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动用反证法证明：如果用反证法证明：如果a，b为正数，