2422直线与圆的位置关系——切线长定理

1、24.2 直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结OA1.过圆上一点A画圆的切线，能画_条？ 能画几条？PB 过圆上另一点B,再画圆的切线。 2.过圆外一点P画圆的切线，能画 条?21 1 过圆外一点作圆的切线，过圆外一点作圆的切线，这点和切点之这点和切点之间的线段长间的线段长叫做这点到圆的叫做这点到圆的切线长切线长. .OPAB切线与切线长是同切线与切线长是同一个概念吗？一个概念吗？切线长概念切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1.1.切线切线是一条与圆相切的是一条与圆相切的直线直线，不能度量不能度量；2.2.切线长切线长是是线

2、段线段的长，这条线段的两个端点分别是的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，圆外一点和切点，可以度量可以度量. .OPAB比一比：比一比：切线与切线长切线与切线长.OPAB思考思考：已知：已知OO切线切线PAPA，PBPB，A A，B B为切点，把圆沿着为切点，把圆沿着直线直线OPOP对折对折, ,你能发现什么你能发现什么? ?PA=PBPA=PBAPO=BPOAPO=BPO猜想：猜想：APOB证明：连接证明：连接OA,OBOA,OBPAPA，PBPB与与OO相切，相切，点点A A，B B是切点，是切点，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90，

3、 OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP，RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB PA = PB， APO=BPO.APO=BPO. 求证：求证：PA=PBPA=PB，APO=BPOAPO=BPO已知，如图已知，如图，PA,PBPA,PB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点例题讲解切线长定理：切线长定理： 从圆外一点可以引圆的从圆外一点可以引圆的两条切线两条切线，它，它们的们的切线长相等切线长相等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平平分两条切线的夹角分两条切线的夹角.符号语言符号语言: :PA,PBPA,PB与与OO相切，相切，PA=

4、PBPA=PB，P PO O平分平分APBAPBOPAB温馨提示：温馨提示：切线长定理为证明线段相等，角相等，切线长定理为证明线段相等，角相等，提供了新的理论依据。提供了新的理论依据。拓展结论PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点，直线OP交 O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB OP.（3）写出图中所有的全等三角形；AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形. ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.P要点归纳切线长问题辅助线添加方法（3）连接圆心和圆外一点.（2）连

5、接两切点；（1）分别连接圆心和切点；P练一练 PA、PB是 O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若BPA=60 ,则OP= .56问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ABCABC三角形的内切圆及内心三问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O. O就是所求的圆.1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆

6、叫做三角形的内切圆内切圆. .B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心内心. .3.这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的外切三角形外切三角形. .4.三角形的内心就是三角形的三个内角三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点角平分线的交点. .ACIDEF三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距离相等到三角形的三边的距离相等. . O是是ABC的内的内切圆，点切圆，点O是是ABC的内心，的内心，ABC是是 O的外切三角形的外切三角形.概念学习名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心

7、不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部填一填：ABOABCO典例精析例例1 如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，点的两条切线，点A、B是切点，是切点，在弧在弧AB上任取一点上任取一点C，过点，过点C作作 O的切线，分别交的切线，分别交PA、PB于点于点D、E.已知已知PA=7，P=40.则则 DOE= . PDE的周长是 ；14OPABCED70例例2 ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求求AF

8、、BD、CE的长的长. .解解:设设AF=xcm，则，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由由 BD+CD=BC，可得可得 (13-x)+(9-x)=14，解得解得 x=4. AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).想一想：想一想：图中你能找出哪些相等的线段？图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？理由是什么？方法小结：方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程化集中到某条边上，从而建立方程. .ACBEDFO20 4110 1.如图，PA、P

9、B是 O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, APB= 40 ,则APO= ,PB= . P第1题2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则BOC= . 第2题当堂练习当堂练习3.如图，PA、PB是 O的两条切线，切点为A、B,P= 50 ，点C是 O上异于A、B的点，则ACB= . 65 或115 P第3题4.ABC的内切圆 O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则ABC的周长是 .第4题30拓展提升：拓展提升：直角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：试问：（1）它的外接圆半径是它的外接圆半径是 cm; ;内切圆半径内切圆半径是是 cm？（2）若移动点若移动点O的位置，使的位置，使O保持与保持与ABC的的边边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围的取值范围. .ABCEDFO51解：如图所示，设与解：如图所示，设与BC、AC相切的最大相切的最大圆与圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连接连接OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形为正方形. .ABODCOBBC3，半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3.切线长切 线 长定理作 用图形的轴