二次函数常用公式、结论及训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上 初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、 常用公式或结论 （1）横线段的长 = x大-x小 =x右-x左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y大-y小=y上-y下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。（2）点轴距离：点P（x0 ，y0）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。（3）两点间的距离公式：若A（x1,y1），B(x2,y2), 则 AB=（4）点到直线的距离：点P（x0 ，y0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为： （5）中点坐标公式:若A(x1,y1)，B（x2,y2），则线段AB的中

2、点坐标为（）（6）直线的斜率公式：若A（x1,y1），B（x2,y2）(x1x2)，则直线AB的斜率为：,（x1x2）（7）两直线平行的结论：已知直线l1: y=k1x+b1 ; l2: y=k2x+b2若l1/l2,则k1=k2；若k1=k2，且b1 b2，则 l1/l2。 （8）两直线垂直的结论：已知直线l1: y=k1x+b1 ; l2: y=k2x+b2若l1l2，则k1k2 =-1；若k1k2 =-1，则l1l2（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）截得的弦长公式是

3、：AB=证明如下：设直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）交于A（x1, y1）,B（x2, y2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=，因为A（x1, y1）,B（x2, y2）两点是直线y=kx+n与抛物线抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）的交点，所以A（x1, y1）,B（x2, y2）两点也在直线y=kx+n上，y1=kx1+n, y2=kx2+n, y1-y2=（kx1+n）（kx2+n）=kx1-kx2=k（x1-x2），AB=而x1, x2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx+c（或双曲线y=m/x）组成方程组后，消去y（用代入

4、法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x1+x2 , x1x2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。（10）由特殊数据得到或联想的结论： 已知点的坐标或线段的长度中若含有等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若，则直线与X轴的夹角为；若；则直线与X轴的夹角为；若，则直线与X轴的夹角为教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。二、

5、基本公式或结论训练 -破解函数难题的基石（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=】。（1）若A（2,0），B（10,0），则AB=。（2）若A（-2,0），B（-4,0），则AB=。（3）若M（-3,0），N（10,0），则MN=。（4）若O（0,0），A（6,0），则OA=。（5）若O（0,0），A（-4,0），则OA=。（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=。（7）若O（0,0），A(t,0),且A在O的左端，则OA=。（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=。（9）若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB

6、=。（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在M的右端，则PM=。 注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=】。（1）若A(0,5)，B（0,7），则AB=。（2）若A（0，-4），B（0，-8),则AB=。（3）若A（0,2），B（0，-6），则AB=。（4）若A（0,0），B（0，-9),则AB=。（5）若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=。（6）若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=。（7）若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=。（8）若A（6，-4

7、t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=。（9）若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，则MN=。（10）若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，则PM=。注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。（三）点轴距离：一个点到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值（即），到y轴的距离等于该点的x标的绝对值（即）。（1）点（-4,-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为。（2）若点A（1-2t,)在第一象限，则点A到x轴的距离为，到y轴的距离为_。（3）若点M（t,)在第二象限，则点M到x轴的距离为 ;到y轴的距离为。（4）若点A（

8、-t,2t-1)在第三象限，则点A到x轴的距离为，到y轴的距离为 。（5）若点N（t，-t2+2t-3)点在第四象限，则点N到x轴的距离为，到y轴的距离为_。（6）若点P（t ,t2+2t-3)在x轴上方，则点P到轴的距离为_。（7）若点Q（，t2-2t-6）在轴下方，则点Q到轴的距离为_。（8）若点D（，t2+4t-5）在轴左侧，则点D到轴的距离为_。（9）若点E（，）在轴的右侧，则点E到轴的距离为_。（10）若动点P（，t2-2t+3）在轴上方，且在轴的左侧，则点P到轴的距离为_，到轴的距离为。（11）若动点P（，t2-2t+3）在轴上方，且在轴的右侧，则点P到轴的距离为，到轴的距离为。（

9、12）若动点P（，t2-2t+3）在轴下方，且在轴的左侧，则点P轴的距离为，到轴的距离为。（13）若动点P（，t2-2t+3）在轴下方，且在轴的右侧，则点P到轴的距离为，到轴的距离为。注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点在抛物线x2-2x+3上位于轴下方，轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应的相反数，还是其本身。（四）中点坐标的计算：若【A（x1,y1），B(x2,y2),，则线段AB的中点坐标为（）】（1）若A（4，），B（6，7），则AB中点为。（2）若M（0，

10、-6），N（6，-4），则MN的中点坐标为。（3）若P（），Q（），则PQ的中点坐标为。（4）若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点，则M点的坐标为。（5）若A(-1,3),B(0,2),且A为BP中点，则P点坐标为。（6）点P（5,0）关于直线2的对称点的坐标为。（7）点P（6,0）关于直线1的对称点的坐标为。（8）点P（6,2）关于直线3的对称点的坐标为_。（9）点Q（4,3）关于直线3的对称点的坐标为。（10）点M（4，2）关于直线2的对称点的坐标为。（11）点P（4，3）关于直线1的对称点的坐标为。（12）点M（4,2）关于直线1的对称点的坐标为。（13）点T（4，3）关于直

11、线1的对称点的坐标为。（14）点Q（0，3）关于轴的对称点的坐标为。(15）点N（4,0）关于轴的对称点的坐标为。（五）由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为-1.】（1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。（2）某直线与直线y=x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。（3）某直线与直线y=平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。（4）某直线与y轴交于点P（0,3），且与直线y=平行,求此直线的解析式。（5）某直线与x轴交于点P（-2,0），且与直线y=平行，求此直线的解析式。（6）某直线与直线y

12、=2x-1垂直，且过点（2,1），求此直线的解析式。（7）某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。（8）某直线与直线y=垂直，且过点（2，-1），求此直线的解析式。（9）某直线与直线y=垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。（10）某直线与x轴交于点P（-4,0），且与直线y=垂直，求此直线的解析式。（六）两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2,y2),则（）若A（-2,0），B（0，3），则AB=。（2）若P（-2,3），Q（1，-1），则PQ=。（3）若M（0,2），N（-2,5），则MN=。（4）若P（），Q（），则PQ=。（）若A（),B(-1

13、,),则AB=。（）若P(),B(),则PB。（）若P(),B,则PB=。（）若P()，M()，则PM=。（）若A（），B（），则AB。（）若A（），B（），则AB。（11）若A（2,），B（3,），则AB。（）若P(0，-4)，Q(0，-2)，则PQ=。（13）若P(3,0)，Q(4,0)，则PQ=。（）若P(1，-4)，Q(2,0)，则PQ=。（七）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】；可由两个点的坐标直接求得：若A（x1,y1），B（x2,y2）(x1x2)，则直线AB的斜率为：,（x1x2）例题：若A(2，-3)，B(-1,4)，则kAB= 解：A(2，-

14、3)，B(-1,4)， =（1）若A(0，2)，B(3，0)，则= 。（2）若A(1，-2)，B(-3，1)，则= 。（3）若M(-3，1)，N(-2，4)，则= 。（4）若P(1，-4)，Q(-1，2)，则= 。（5）若C(-1，1)，Q(-，)，则= 。（6）若E(，-1)，F(-，-)，则= 。（7）若M(-，-)，Q(-1，-)，则= 。（8）若P（-，-)，Q(-1，-)，则= 。（八）点到直线的距离公式：点P（x0 ,y0）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）的距离公式为：；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0的形式（即

15、：先写x项，再写y项，最后写常数项，等号右边必须是0）。例题：求点P(2,-3)到直线的距离。解：先把直线化为一般式3x-6y-4=0所以的值就是把点对应代入代数式Ax+By+C中。（1）求点P（-2，1）到直线y=x+2的距离。（2）求点Q（1，-4）到直线y=2x-1的距离.（3）求点A（1，2）到直线的距离.（4）求点M（0，-3）到直线的距离.（5）求点P（-2，0）到直线的距离.（6）求点K（-3，-2）到直线的距离.（7）求点P（-3，-1）到直线的距离.（8）求点P（-，-1）到直线的距离.（9）求点Q（-，-）到直线的距离.（10）求点P（-，-）到直线的距离.（11）求点N（

16、-，-）到直线的距离.（12）求点D（-，）到直线的距离.（13）求点E（-，）到直线的距离.（九）一个点关于一条斜直线的对称点：（1）求点A（-2,3）关于直线y=x-2的对称点坐标。（2）求点B（3，-1,）关于直线y=2x-5的对称点坐标.（3）求点Q（3，2,）关于直线y=-3x+5的对称点坐标。（4）求点N（1，-2,）关于直线的对称点坐标。（5）求点D关于直线y=-2x+1的对称点坐标。（6）求点关于直线的对称点坐标。（十）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长：（1）求直线y=x+2与抛物线截得的长。（2）求直线y=-x+3与抛物线截得的弦长。（3）求直线y=2x-1与抛物线截得的弦长。（4）求直线y=x+1与双