专题4导数答案

1、专题4导数、求函数的导数1 ?（南京市 2011 - 2012学年度 T2）已知函数/（x） = A-.y ,则广（x） = . 2.x 1兀+ 2 .（南京市2013 - 2014学年度T5）记函数应）=的导函数为广（x）,则广的值为 . T二、导数的几何意义一一切线1彳南京市2014 - 2015学年度T5）若直线y = x + b是曲线尸e*的一条切线，则实数 b的值为 . 1变式1 :（南京市2016 - 2017学年度T5）曲线y =.?与直线y = Ax + b 相切，则实数 b的值是 . 3变式2 :（南京市2012 - 2013学年度T7）已知曲线y =在x = 1处切线的斜率

2、是-4 ,则实数a的值为 ? 2.2 .（南京市2011 - 2012学年度T10）如图直线/是曲线尸在* 4处的切线贝0广=. 10.|变式:（南京市2017 -y =心）相切于点（a , 3）.若广2亠 亠迸，则实数a的值是 ? 3三、用导数研究函数1 .（南京市2014 - 2015学年度T8）已知函数y =sinx ,XW（0,TI）,则它的单调递减区间为 .（0,Ji/3）变式1 :（南京市2017 - 2018学年度T6）函数？=.rer的单调减区间是 . （ 8, -1）变式 2 :( 南京市 2012 - 2013 学年度 T9) 函数 y = .?-3.r + l 的单调递减

3、区间为 . (0, 2)1_ IT2 .(南京市2011 - 2012学年度T8)函数/(%)" -sin%在区间0 ,兀上的最小值是 ? g错误!变式：(南京市2015 - 2016学年度T9)函数？i(e为自然对数的底数)的最大值是 3 .(南京市2017 - 2018学年度T11)若函数沧)=疋-3”处在区间(0 , 1)内有极值，则实数m的取值范围是 ? (0, 3)变式：(南京市2013 - 2014学年度T10)已知函数兀v) = ex-ax在区间(0,1)上有极值，则实数 a的取值范围是(1，e)4 .(南京市2016 - 2017学年度T11)已知函数沧)=(x2 +

4、 x + "沪(其中m£R , e为自然对数的底数).若函数/(Q在；r= - 3处有极大值，则函数/(*)的极小值是 . -15 .(南京市2015 - 2016学年度T12)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = y : 3x ,y-0,x-t(t>0)围成的公OAB的面积为S,则S在t = 2 时的瞬时变化率是. 2A3.(1 , + 6.(南京市2012 - 2013学年度T13)已知可导函数/(%) (% e R)的导函数fx)满足/'(x) > f(x),则不 等式呼(x) >/(l)e1的解集是四、导数的综合运用(填空题)1 ?(

5、南京市2011 - 2012学年度T14)设函数兀0在其定义域 D上的导函数为?).如果存在实数？和函数h(x)，其中/z(x)对任意的者0有h(x) >0，使得广(x) = /z(x)(F - ax + 1)则称函数/(x)具有性质P(a).给1岀下歹U四个函数：/(劝=討-F + x+ 134；fix) = liu- +；?fix)x+ 1=(x2 - 4x+5)b ;+ x 其J2x + 1则称厂应）在I上是“弱增函数” 实数b已知函数 A （ .r） =.v（b -I） x + b在（0,1 上是“弱增函数，则的值为 ?13 .（南京市 2013 - 2014学年度T14 ）已知

6、定义在R上的函数y =应）的图像经过坐标原点O,且它的导函数象限.的图像是如图所示的一条直线，则v = /U ）的图像一定不经过第人324 .（南京市2014 - 2015学年度T14 ）已知函数/ （x） = ax - 3x +1在区间（0, 2J上有两个不同的零点，则实. 事,数a的取值范围是2）5 .（南京市2015 - 2016学年度T14 ）已知函数y = .r3 - 3x在a ,a +门（a>0）上的最大值与最小值的差为2 ,则满足条件的实数 a的所有值是. 0和萌一 1（南京市2016 - 2017学年度T14 ）已知t > 0 ,函数应）=错误！若函数g （x） =

7、fifM -1）恰有6个不同的零占八、5则实数/的取值范围是? （ 3, 4）>0成立，则实数a的取值7 .（南京市2017 - 2018学年度T14 ）若对任意的用£, + ?）,者B有 少-cinx围是范> e五、应用题1 ?（南京市2013 - 2014 学年度 T12 ）已知圆柱的体积为16K cm3,则当底面半径r =cm时，圆柱的表面积最小.22 .（南京市 2011 - 2012学年度 T18 ）某公司需制作容积为216 ml的长方体形饮料盒,饮料盒底面的长是宽的2倍.当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省?由 S f (x) =4 (2x-)=0,1

8、8.（本题满分10分）解：设饮料盒底面的宽为xcm,高为"cm,则底面长为2xcm.根据 V=.r ? lx ? h, 可得/? = 2分所以，表面积 S（ x）= 2（ x ? 2x+x ? h+2x ? h ）=2 （ 2 兀 2+3 兀？ =4 （x2+竽）（兀 0）得兀=3萌 8分当0V兀V 3羽时，S? ） V0,函数S （ Q在（0, 3萌）是减函数； 当兀3羽时，S? ）> 0,函数S （x ）在（3羽，+8）是增函数.所以，当jc=3书时，S （ Q取得极小值，且是最小值.答：当饮料盒底面的宽为 3萌cm时，才能使它的用料最省 10分（1）试写岀s关于X的函数关

9、系式；（2）当圆锥底面半径A为多少时，圆锥的侧面积最小解（1）设圆锥001的高为/,母线长为/?因为圆锥的体积为石兀，即知2%=肃兀，所以 =错误! 2分因此匸寸” +护=错误！，从而S=7ixl =亦错误!=於|误!，（兀0） 6分（2）令 XX） =X4+4,则广（劝=4 分一琴，（x> 0） . 8 分由广（兀）=0,解得x=y/3. 10分当0VJIV羽时，广（QV0,即函数兀I）在区间（0,羽）上单调递减;当兀羽时，广（兀）> 0,即函数沧）在区间（羽，+呵上单调递增12分所以当x=y3时，夬兀）取得极小值也是最小值？ 14分答：当圆锥底面半径为羽时，圆锥的侧面积最小 .

10、设切去的等腰三角形的高为xm .三角形，再把四个三角形沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型求正四棱锥的高凤对；(2)当X为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？19.(本题满分10分)解(1)设正四棱锥的底面中心为在直角三角形AON 中，AO=yAN-NO-=A/1+.?-(1-,v) 2 =换,2分因此 h(x)=yAc,(0<.可).4 分去的是等腰三角形，所以 AN=T+j?, NO=lx,(不写0<x<l扣1分)(2) V(.r) =| ? |? 2(1 -X)2? yA2x=错误!(l-.r) 2 错误!，(OVxVl).由 V，(.r)=错误!(2x 2)错误

11、汁错误!=错误!(x 1)错误!=0,解得1(舍去),r=|.当 x?(0,)时，W(x)>0, V(x)为增函数；当 xE(|, 1)时，V'(x)<Q, V(x)为减函数所以函数V(x)在时取得极大值，也为V(x)的最大值.10分答：当X为* m时，正四棱锥的体积 V(x)取得最大值说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分.5 .(南京市2014 - 2015学年度T18)如图，有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为V = -2.r + 2 (-1W x W1).计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，切割时以边缘的一条线段为梯形

12、的下底?(1)若梯形上底长为2%，试求梯形面积 S关于A-的函数关系式；(2)求梯形面积S的最大值18. 解(1)记梯形为ABCD.由题意可知，点 C的坐标为(x, 2-2X 64- 答：当只=亍时，梯形面积取得最人值亏 ).所以梯形 ABCD 的面积为 S(x) = °一: 玖(2-扇=2(1 +x)(l -X 2), x(0, 1) 4分(2)由(1)知，S，(x)= 2(3 丘 + 0 1).令 S* (x)=0.解得 x=#或 x= 1(舍去) 6分所以，当 x(0,害)时，S' (x)>0.当 x(扌，1)时，S" (x)<0.16410分故当

13、x=*时，S(x)取得极大值，且最大值是券 9分ABCF和梯形 DEFO构成的六边 形坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCDEE域，其中A、B、C、D E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）.设ZAOF = 0,其中O为圆心.（1 ）把六边形 ABCDE的面积表示成关于 6的函数夬0）；（2）当0为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积解：(1)作AH丄CF于H,贝 U OH=cosO, AB=2OH=2cos6, AH=sin3,2 分则六边形的面积为 /(6*)=2 X|(AB+ CF)XAH= (2cos0+2)sin6*=2(cos0+l)

14、sin0, 0G(O,步. 6 分(2)广(0)=2 sinOsin 0+ (cos0+1 )cos0=2(2cos20+cos0 l) = 2(2cos0 l)(cos0+1).10 分令广(0)=0,因为0丘(0,号)，所以cos6*=|,即0=号， 12分当6?e( 0,爭时，广(0)>0,所以/(0)在(0,爭上单调递增；当号)时，广(0)V0,所以/(0)在(务自上单调递减，.14分所以当 0 亏时，/(0)取最大值 /(|)=2(cos|+l)sin|=|V315分答：当0=爭寸，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为討§平方百米16分2元/件销售该商7 .（南京

15、市2013? 2014学年度T18）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价品时，年销量为万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益.据测算，若今年的实际销售单价为X元/件（1SE）,今年新增的年瑁軍（单位 ：万件）与（2甘）2成正比，比例系数为 4 ?（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）说明理由?18. 解（1）由题意知，今年的年销售量为1 +4（ X 2尸（万件）.因为每销售一件，商户甲可获利（X 1）元，所以今年商户甲的收益V= : 1+4 （ A 2） 2（ X 1）=4A3-20.V2+33X-17, （ 1WXW2

16、） . 4 分（2）由（1）知 y=4，一 20F+33X 17, 1WXW2,从而12”一 40X+33 = （2x 3）（ 6x 11）.3 11令y'=o,解得兀=刁 或兀=石？列表如下：X(1,132(111 6(” ,2)广)00+递增极大值递减极小值递增7分又号）=1,人2） = 1,所以夬兀）在区间1, 2 上的最大值为1 （万元）.而往年的收益为（2-l ） XI = l （万元），所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.10分8 .(南京市2015 - 2016学年度T18)已知A、B两地相距300 km ,汽车从A地以v km/h的速度

17、匀速行驶到B地(速度不超过60 km/h).已知汽车母小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，其中固定成本为250元，可变成本(单位：元)与速度v的立方成正比，比例系数为血？设全程的运输成本为y元？求 y 关于 v 的函数关系；(2) 为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶 ？18.解(1)由题意知V=( !QQQ+250)X =-人00(| QQQ+ v ) (0<vW60) 4 分(2)设+響， >0，则广(V)=2 QQ > 由广(v)=0 得，v=50, 6 分当 0vvv50 时，广 (v)v0, 当 50<v<60 时，广 (v)>0, 8分

18、所以 v=50 时，介 ) 取得最小值，即 y 取得最小值 .答：为使全程运输成本最小，汽车应以 50 km/h 速度行驶 . 10分六、导数的综合运用 (解答题 )1 ？(南京市 2015 - 2016 学年度 H9) 已知函数沧 )= lnx .(1)若直线y = 2x + p(pW R)是函数y图象的一条切线，求实数p的值?W7_ 若函数g(x) = x - - 2/(x)0"eR)有两个极值点，求实数m的取值范围.19. 解(1)方法(一)由题意知广(x)= £设切点的坐标为(xo，Ing),则2=2,解得."0=1,所以切点的坐标为(*, In2),代入

19、直线y=2x+p,解得卩=一 1 一 ln2.方法(二)广(x) =2，设切点的坐标为(X0，叭)，则切线的方程为y xo)，即y=T-.r+|n. o-¥1,兀 0 兀 0又切线方程为 y=2;v+p,则错误 ! 解得 p=|n2. 4分(2)函数g (x)的定义域为(0,十8),且g,( x) = i+% 丰=? 6 分由题意可知，关于 x的方程A-2x+m=0有两个不相等的正根 xi,也， 8 分所以忙二伽0,解得osvi?即实数加的取值范围是( 0, 1 ) . 10分若。二0 ,求曲线尸沧）在点1 ,1 ）处的切线方程；讨论函数兀 0 的单调性 .（4。+ 2） x + 4

20、1nx z其中a>0 .19. 解（ 1 ）当 °=0 时， Xx ）= 2x+41nx,4从而广（ x） = -2+, 其中兀0.2分所以广 =2.又切点为（ 1, 一 2） ,所以所求切线方程为 y+2=2兀一 1 ）,即 2 兀一 y 4=0.4分12）因为夬兀） =ax1（ 4?+2）x+41nx,12 ?（南京市 2013 - 2014 学年度 H9 ）已矢函数夬兀） =ax2（必一 1 ）（兀 2） 其中兀°?卄亠2, +8 ）；m, 42OV2（4。 +2）兀 +4所以广（劝 =2 祇一（ 4。 +2） +匚 = - - = Y，亠2（兀一 2 ）%1当

21、。 =0 时，广（兀） =一 - , 兀 0.由广（兀） 0 得， 0VXV2, 所以函数夬兀）的单调增区间是（0, 2 ）；单调减区间是（ 6 分%1当OVqV*时，因为+ 2,由广（兀） 0,得x V 2或兀£所以函数/ （对的单调增区间是（0, 2）和（£ +8）;单调减区间为（2,； 8 分1（兀 2） 2%1当a=2时，广（兀）=-20,且仅在兀=2时，广=0,所以函数夬兀）的单调增区间是（ 0, +°°）；%1当a*时，因0V*V2,由广（兀） 0,得0 V兀V +或兀2,所以函数兀 0 的单调增区间是（ 0,和（ 2, +8）；单调减区间为

22、 2）.综上，当。 =0 时，人兀）的单调增区间是（0, 2）,单调减区间是（ 2, + °）；当0 V av £t，/U ）的单调增区间是（0, 2）和（£ + °°）,减区间为（2, |）;当 a=* 时，几 1 ）的单调增区间是（ 0, + °）;当a*时，妙的单调增区间是（0,和（2, +-），减区间为（十，2）10分3 .(南京市 2014 - 2015 学年度 T19)已知 f(x) = x 2-alnx (tz>0).当a = 1时，求/(x)的单调递减区间;(2)若/(X) > 0恒成立，求a的取值范围11

23、9.解(1)当 a = l 时，f(x)=F lnx?贝U f'(x)=2x 壬=(x>0) ? 由f (x)<0,解得0<xv?,所以f(x)的单调递滅区何为(0,车.4分 alnAJl+C>J?) 2>0.解得 0<a<2e.分解法一当a>0时，由f*(x)=2x -=0.解得 故要使f(x)>0恒成立，只要fCJ?)>0,即一因为双0所以当(x)<0+ a>M(x)>0,取得极小值，也是最小解法：由 x2alnx>0 ?可得一 a” +l>0记 g(x)=A.则 g?)= xXT 縈 2=八

24、八令得x=S? 6 分当 x(0,托)时，gr(x)>0?当双士， +8)时.g'(x)V0 ?所以g(x)在x=VZ时取得最大值即g (x)的值域为(一 8,比8分id g (x)=s.则一as+l>0 在 s( ?. £ 时也成立，所以 a>0 且一 aXA+|>0,得 0Va<2e104 .(南京市 2011 - 2012学年度 T20)已知函数应)=anx + (a + l)x + 1 .当a= - 1时，求函数夬？的单调增区间; 若函数/U）在（0 , +8）上是增函数，求实数“的取值范围 若 a>0 ,且对任意 xi , A-2

25、e(0 ,+<?),值？解：（1）当 0= 1 时，fix）=In. v+2A +1 -,者E有|血）-1（. ¥）|>2|x：-刈，求实数a的最小贝U f（x）= a.+x2分令才（x）>0,得 xVO 或 x> 1.所以函数函数兀 0的单调增区间为（1, +8）4分（2）因为函数夬x）在（0,十8）上是增函数，所以蚀= +（餐 4-+J丫 + 唇 0对灼0, +8）恒成立.6分 即x+aA0对xA（0, + A）恒成所以°三0?8分即实数a的取值范围是0, +8）.因为a>0,所以函数几兀）在（0, +°° ）上是增函数

26、.因为兀1,兀2A（0, + °兀1工兀2,不妨设兀1>兀2,所以7（兀1）>7（兀2） ?曲兀1） /（兀2） | 2|恒成立，可得 7U1） /（兀2） >2（兀1兀2），即 Axl） 2 兀 1 >/（兀 2） 2X2 恒成立？令g（x）=fix）-2x, 则在（0, +8）上是增函数 10分所以 g(x)= ¥x+(a+)_2= x + J"* 三 对灼° , + 8)恒成立即 F + (a l)x+a 三 0 对 A G(O, + 8)恒成立. 兀2 Y即“耳一匸订对xE(0, +8)恒成立才 2 JC因为一匚百=（兀+

27、 1 +缶一 3）W3 2迈（当且仅当兀+仁帛即兀=也一 1时取等号）,所以 一2（2.所以实数a的最小值为3-2A2?12分5 .（南京市 2012 - 2013 学年度 T20 ）设函数应） = ln.r - ax , oGR .当* 1时，函数沧）取得极值，求a的值;20.当 a > 0时，求函数兀 0在区间 1 , 2 啲最大值（本题满分 12 分）解（ 1）几劝的定义域为（ 0, +8） ,十1 lax所以 fx ）=-a= 八2分因为当 1 时，函数几对取得极值，所以 / （ 1 ） = 1 a = 0, 所以 a=.经检验，符合题意 . （不检验不扣分） 4 分, 、11

28、ax（ 2） fx ）=-a=, x>0.令广（ x） = 0 得 x=. 因为 xe（ 0,时，广（ x） >0, （方 ,+8 ）时 , 广（ x） V0,所以夬x）在（0,十）递增，在（£ +8）递减， 6分%1当OVWI,即a三1时，金）在（1，2）上递减，所以 x=l时，/U ）取最大值 AD8分%1当1<占<2,即*<a<l时，应）在（1,召上递增，在（占 2）上递减，厶 Lt-所以+时，/U ）取最大值/ （+） = Ina 1;10分%1当+耳2,即0<aW*时，应）在（1, 2）上递增，所以 x=2时，应）取最大值/ （2）

29、综上，当0<aW*时，应）最大值为 In2-2?；当*<a<l时，应）最大值为一 Ina 1.当时，夬兀）最大值为一Q.12分= -? ； = ln2-2? ；说明：第（ 1 ）问，不检验不扣分；第（ 2）问的讨论，每一种情形给 2分；不总结结论不扣分6 g 南京市 2016 - 2017 学年度 T20)已知函数 / (l)=ax - Inx(AeR).当Q二1时，求于(兀)的最小值；已知e为自然对数的底数，存在xG |, e,使得/ (1)= 1成立，求“的取值范围；若对任意的 x?I , +8),有成立，求“的取值范围?1 兀- 解： ( 1) d=I 时， fAx)=

30、x Inx f 则广 ( 兀)=1 一令广 ( 兀)=0,则 x=I.2 分当 0V 兀 VI 时，广 (QV0, 所以沧 ) 在( 0, 1)上单调递减；当兀>1时，广(兀)>0,所以兀 V在(1, +oo)上单调递增， 3分所以当 x=I 时， /( 兀) 取到最小值，最小值为 1.4 分(2) 因为 /(兀)=1,所以 axnx=,即 ° =£ +竽， 6 分设g(x)=£+竽 用右，e,贝lj g令 g *W=0, 得 x=I.当¥<X<1时，g(Q>0,所以g(x)在(I，1)上单调递增；当1 <r<e

31、时，g(Q<0,所以g(x)在(1, e)上单调递减； 8分因为g(l)=l，g(-)=0, g(e)=R所以函数g(x)的值域是0,1, e 匕所以a的取值范围是0, 1.10分(3) 对任意的 AG1, +oo), 有夬对耳用 ) 成立，则 axwcA+wc, 即 °(兀一匚)一 21iixM0.11 O fjQ "9 VIZ7令/7(x)= “(x ) 21nx,则"(Q = ('I+ 右)一彳=,所以/?(x)在1,弓上单调递减，所以/?(|)</?(1)=0,即存在%=a>1,使得/z(x)<0,所以OVaVI不满足条件

32、14分n 2 X n%1 当aWO时，因为xNI,所以/?'(x)=-庐一 <0,所以/心)在1, +oo)上单调递减，所以当 x>l 时， /2(x)</i(l)=0, 所以 aWO 不满足条件 .aA 此时 2xa <0 16 分综上，a的取值范围为1, +8).7 .(南京市2017 - 2018学年度 T20)设函数沧)1 - In %,其中a歩.若 , 求过点 (0 , - 1) 且与曲线相切的直线方程；求证：当用(0 , +8)时，1W0 - 1恒成立；若函数/(X)有两个零点 XI z X2 ,求d的取值范围？解( 1)当 a=0 时，夬兀 )=1lnj