差分方程基本概念和方法_第1页
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文档简介

1、差分方程基本概念和方法考察定义在整数集上的函数，函数在时刻的一阶差分定义为：函数在时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分：同理可依次定义阶差分定义1含有自变量,未知函数以及的差分的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。阶差分方程的一般形式为其中为的已知函数，且至少要在式中出现。定义2含有自变量和两个或两个以上函数值的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。阶差分方程的一般形式为其中为的已知函数，且和要在式中一定要出现。定义3如果将已知函数代入上述差分方程，使其对成为恒等式，则称为差分方程的解。

2、如果差分方程的解中含有个独立的任意常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。例如： 设二阶差分方程 ，可以验证是其通解，其满足条件的特解为：。这里即为著名的Fibonacci数列。定义 形如： （为常数，）的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程。常系数线性非齐次差分方程 对应的齐次差分方程为 定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即其中 是对应齐次差分方程的通解， 是非齐次差分方程的特解对于线性齐次差分方程定义其特征方程为 ，称该特征方程的k个根为特征根，若此k个特征根互异，分别为，则齐次差分方程的通解可表为 差分方程的平衡点及稳定性一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程 （1）的平衡点由解得，为 当时，若 ，则平衡点是稳定的，否则是不稳定的。容易看出，可以用变量代换方法将方程（1）的平衡点的稳定性问题转换为 （2）的平衡点 的稳定性问题。对于方程（2），因为其解可表为所以当且仅当时，方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。对于二阶线性常系数差分方程，我们考查 （3）的平衡点的稳定性。其特征方程为：，记特征根为

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