平面及空间直线与直线的关系2012年11月15日教学备课讲义教案

1、精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号： 年 级：高三课时数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题T平面定义与性质T直线与直线的位置关系T综合应用求解星级授课时间教学目的1、 理解平面的定义及性质；掌握3个公理及推论并会应用。2、 掌握公理4，并理解空间等角定理。3、 掌握两直线的位置关系，理解异面直线并会求异面直线的夹角。教学内容一、平面及其基本性质知识导入1、知识点梳理（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说的平面（plane）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平

2、面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用、写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面、平面，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD，或平面AC或平面BD。ABCD·P·Q如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P在平面内，记作P，点Q在平面外，记作Q。（3）、公理1公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。此公理可以判断直线是否在平面内。A·

3、83;B点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作Pl，点P在直线l外，记作Pl。如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l；否则，就说直线l在平面外，记作l。公理1也可以表示：Al，Bl，且A，Bl（4）、公理2公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。Pl，且Pl（5）、公理3三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。公理3过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有

4、且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。典型例题例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。解析：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系解：左边的图中，l，aA，aB。右边的图中，l，a，b，al=P，bl=P。 点评：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系ABalPlab变式1：用符号表示下列语句（1） 点A在平面内，点B在平面外 (A, B)（2） 直线l经过平面外的一点M ( M, Ml)例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？解析：结合实物做出解答解：不共面的四点可以确定4个平面（如三棱锥）共点的三条直线可以确定1个或3个平面

5、点评：发展学生思维变式2：判断正误1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（）2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）例3如图，已知平面，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)证明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两腰AB，CD必定相交于一点设ABCDM.又AB，CD，M，且M.M.又l，Ml.即AB，CD，l共点课堂检测一选择题1. 空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（）A共面 B不一定共面C不共面D以上都不对2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直

6、线，则a、c的位置关系是（）A相交、平行或异面 B相交或平行C异面D平行或异面3.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点是PQR，PQ=3，QR=4，PR=5，那么异面直线AC、BD所成的角是（） A900B600 C450 D300二填空题4.在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,ACBD,则四边形EFGH为_5.直线a、b不在平面内，a、b在平面内的射影是两条平行线，则a、b的位置关系是_三解答题6.完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求证：B

7、D和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_内QAÎa，DÎa，_Ì. QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc_Ìg，_Ìg，这与_矛盾BD、AE_7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点7证明：(1)分别连接EF、A1B、D1C.E、F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1D1CB为平行四边形A1

8、BCD1，从而EFCD1.EF与CD1确定一个平面E、F、D1、C四点共面(2)EF綊CD1，直线D1F和CE必相交，设D1FCEP.PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD.CE、D1F、DA三线共点反思小结二、空间中直线与直线的位置关系知识导入1、平行线的传递性（1）提问：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？让学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'

9、中， BB'AA'，DD'AA'， BB'与DD'平行吗？ 再联系其他相应实例归纳出公理4（2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线=>acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。2、空间等角定理让学生观察、思考：ADC与A'D'C'、ADC与A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：ADC = A'D'C'，ADC + A'B

10、'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。3、空间两直线的位置关系（1）思考问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？（2）异面直线通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（3）两直线的位置关系提问：空间两条直线有多少种位置关系？1、给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线

11、有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：（4）异面直线所成角（1）如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'a、b'b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。（2）强调： a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一

12、条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。典型例题例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD因为EH是ABD的中位线，所以EHBD且EH=BD 同理FGBD且FG=BD因为EHFG且EH=FG所以四边形 EFGH是平行四边形变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1

13、,（1） 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？（2） 哪些棱所在的直线与AA1垂直？解析：考察异面直线的理解1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 _ 条。（6条）课堂检测一选择题1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条A1 B2C无数D以上都不对EAFBCMND2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（ ）A垂直 B平行C

14、相交D以上都不对3右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60º角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）二填空题4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为_5.空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角为_三解答题6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇综合应用求解综合训练（一）1. 下列命题正确的是（）经过三点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面四边形确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

15、答案：2. 如图，已知长方体中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是多少度？答案：（）；（）3. 已知，是三条直线，角，且与的夹角为，那么与夹角为答案：4.是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共条。答案：8条5. 如果，是异面直线，直线与，都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个答案：2个6. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？Error! Reference source not found.答案：3个，3个7 下列命题中，正确的个数为（ ）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；

16、平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形0123答案：8. 若，是异面直线，也是异面直线，则与的位置关系是（）异面相交或平行平行或异面相交或平行或异面答案：9. 在空间四边形中，分别是，的中点，则与的大小关系是答案：10. 已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角都为的直线有条答案：11. 空间四边形中，分别是，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是答案：12. 已知下列四个命题： 很平的桌面是一个平面； 一个平面的面积可以是m； 平面是矩形或平行四边形

17、； 两个平面叠在一起比一个平面厚其中正确的命题有（）个个个个答案：13. 给出下列命题：（1）和直线都相交的两条直线在同一个平面内；（2）三条两两相交的直线在同一平面内；（3）有三个不同公共点的两个平面重合；（4）两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是（）答案：14. 直线，在上取点，上取点，由这点能确定的平面有（）个个个个答案：15. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（）个个个个或个答案：16. 下列命题中，不正确的是（）一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；两条相交直线上的三个点确定一个平面；两条互相垂直的直线共面与与与与答案：17. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）异面直线相交直线不相交直线不平行直线答案：18.，是异面直线，是上两