平面向量数量积的坐标表示

1、平面向量的数乘运算的坐标运算一、知识精讲1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们 的和，即a·bx1x2y1y2两个向量垂直abx1x2y1y202三个重要公式小问题·大思维1已知向量a(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？提示：a0±±(x，y)，a0(，)或a0(，)2向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？ 提示：向量a在向量b方向上的投影为|a|cos (为向量a与b的夹角)，而cos ， |a|

2、cos .二、典例精析例1、已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求：(1)2a·(ba)；(2)(a2b)·c.自主解答法一：(1)2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a·(ba)(2,6)·(1,2)2×16×214.(2)a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)·c(5,13)·(2,1)5×213×123.法二：(1)2a·(ba)2a·b2a22(1×23×5)2(19)

3、14.(2)(a2b)·ca·c2b·c1×23×12(2×25×1)23.本例条件中“c(2,1)”若变为“c(2，k)”，且“(ac)b”，求k.解：a(1,3)，c(2，k)，ac(1,3k)，又(ac)b，1×2(3k)×50，k.变式训练若向量a(4，3)，|b|1，且a·b5，求向量b.例2、平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)已知点A(16,12)、B(5,15) (1)求| |，|； (2)求OAB.变式练习已知a，b为平面向量，a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b的夹

4、角的余弦值等于() A. B C. D答案：C例3、已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，如图，求D点及的坐标变式练习设a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求m的值解：法一：ab(m2，m4)，ab(m，m2)，又(ab)(ab)，(ab)·(ab)0，即(m2，m4)·(m，m2)0.m22mm22m80.m2.法二：(ab)(ab)，(ab)·(ab)0，a2b2，则m22m102m22m，解得m2.解题高手已知向量a(，1)和b(1，)，若a·cb·c，试求模为的向量c的坐标 三、课后

5、检测一、选择题1(2012·辽宁高考)已知向量a(1，1)，b(2，x)若a·b1，则x()A1BC. D1解析：由a(1，1)，b(2，x)可得a·b2x1，故x1.答案：D2已知点A(1,0)、B(1,3)，向量a(2k1,2)，若a，则实数k的值为()A2 B1C1 D2解析：(2,3)，a(2k1,2)，由a得2×(2k1)60，解得k1.答案：B3已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析：设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)， &

6、#183;(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，·最小，此时P(3,0)答案：C4平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则·等于()A6 B8C8 D6解析：如图，(1,3)(2,4)(1，1)，(1，1)(2,4)(3，5)，则·(1)×(3)(1)×(5)8.答案：B二、填空题5已知向量a(3,4)，b(2，1)，如果向量axb与b垂直，则实数x的值为_解析：向量axb与b垂直，(axb)·(b)a·bxb225x0，x.答案：6已知A(1,2)，B(3,4)，|n|，则|&

7、#183;n|的最大值为_解析：(2,2)，|2，|·n|n|4，当且仅当与n共线且同向时取等号答案：47向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为_解析：(2，4)(4，3)(2，1)，而·(2，1)·(2，4)0，所以，又|，所以ABC是直角非等腰三角形答案：直角三角形8若将向量a(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_解析：设b(x，y)，由已知条件得|a|b|，a·b|a|b|cos 45°.解得或向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，x>0，y>0，b.答案：三、解答题9已知在ABC中

8、，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：ABAC；(2)求向量；(3)求证：AD2BD·CD.解：(1)(1，2)(2,4)(3，6)，(4,3)(2,4)(2，1)，·3×2(6)×(1)0，ABAC.(2) (4,3)(1，2)(5,5)设(5，5)则(3，6)(5，5)(53,56)，由ADBC得5(53)5(56)0，解得，(，)(3)证明：，|，|5，|.|2|·|，即AD2BD·CD.10平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点M为直线OP上的一动点(1)当·取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cosAMB的值解：(1)设(x，y)，点M在直线OP上，向量与共线，又(2,1)x×1y×20，即x2y.(2y，y)又，(1,7)，(12y,7y)同理(52y