《信号与系统》课程讲义5-2

1、5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性一、理想低通滤波器一、理想低通滤波器 理想低通滤波器：将低通滤波网络的某些特性理想化理想低通滤波器：将低通滤波网络的某些特性理想化 而定义的滤波网络而定义的滤波网络 理想模型理想模型1理想低通滤波器的频率特性理想低通滤波器的频率特性信号：冲激函数、阶跃函数信号：冲激函数、阶跃函数(信号特性信号特性)系统：理想低通、高通、带通、带阻滤波器系统：理想低通、高通、带通、带阻滤波器(系统特性系统特性)特性：矩形幅度、线性相移特性：矩形幅度、线性相移0() ()()0 j tcjceH jH je 5.2理想低通滤波器、系统的物理

2、可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性0( )t 1()0cccH j()H jcc01( ) 0t0cc与无失真传输条件相比：通带内满足无失真传输条件与无失真传输条件相比：通带内满足无失真传输条件cc功能：使频率低于功能：使频率低于 的分量无失真的通过；的分量无失真的通过； 高于高于 的分量完全衰减为的分量完全衰减为0， 为截止频率为截止频率c5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性0111( )()()22ccj tj tj th tH jH jedeedF0()0000sin()1( )Sa()2()()jt tccccccctteh tttj tt

3、tt2.理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应 时刻加入时刻加入0t ( ) t()H j( )h t( )h t0t 由于由于 在在 时有值，未卜先知，所以物理上不可能实现时有值，未卜先知，所以物理上不可能实现 实际滤波器分析与设计往往需要理想滤波器理论作指导实际滤波器分析与设计往往需要理想滤波器理论作指导5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性3.理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应( )u t()Hj( )?g t 0 1(), ()( )0 j tccceH jE jj 01()() ()( )j tG jH jE jej 011

4、1( ) ()( )2ccj tj tg tG jeedj F00cos()sin()111222ccccttttddj0()000sin()1111sin22cct tttxddxx 奇函数奇函数偶函数偶函数( )g t5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性0sinSi( )yxydxx011( )Si()2cg ttt令令 (正弦积分正弦积分)，则，则y的奇函数的奇函数0sa( )2t dt5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性 定义上升时间：输出由最小值到最大值所需要的时间定义上升时间：输出由最小值到最大值所需要的时

5、间00max()1111.8514( )Si()1.089522cct tg ttt 212, rfccftBB为折合成频率的滤波器带宽为折合成频率的滤波器带宽(截止频率截止频率)结论：阶跃响应的上升时间与系统的截止结论：阶跃响应的上升时间与系统的截止频率频率(带宽带宽)成成反比反比c 越高，上升越快，逼近阶跃的上升沿：较多的高频越高，上升越快，逼近阶跃的上升沿：较多的高频分量通过滤波器，高频分量主要影响信号的边沿分量通过滤波器，高频分量主要影响信号的边沿 变化时，由于具有不连续点变化时，由于具有不连续点(跳变点跳变点)，响应顶部的震，响应顶部的震荡不会消失，第一个峰起为常数荡不会消失，第一个

6、峰起为常数c5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性4.理想低通滤波器对矩形脉冲的响应理想低通滤波器对矩形脉冲的响应100( )( )()1Si() Si()ccr tg tg ttttt2c条件：条件： ，上升时间远小于矩形脉宽，保证得到大，上升时间远小于矩形脉宽，保证得到大体上为矩形的响应脉冲；否则响应波形上升沿与下降沿体上为矩形的响应脉冲；否则响应波形上升沿与下降沿连在一起，完全丢失激励信号的脉冲形象连在一起，完全丢失激励信号的脉冲形象1( )( )()e tu tu t5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性maxma

7、xmaxmax( )( )11.8514( )1.08959%2( )r te tr te t5.吉布斯振荡吉布斯振荡 吉布斯现象：吉布斯现象：理想低通对矩形脉冲的响应出现该现象理想低通对矩形脉冲的响应出现该现象具有不连续点具有不连续点(跳变点跳变点)的波形，取级数项越多，近似波的波形，取级数项越多，近似波形的方均误差可减小，但在跳变点的峰起（上冲）不能形的方均误差可减小，但在跳变点的峰起（上冲）不能减小，该峰起随级数项增多向跳变点靠近，而峰起值趋减小，该峰起随级数项增多向跳变点靠近，而峰起值趋于跳变值的于跳变值的 9%5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性

8、窗函数窗函数(理想滤波器阶跃响应有关结论理想滤波器阶跃响应有关结论)利用利用矩形矩形频率特性为信号频谱开窗，只能看到频率特性为信号频谱开窗，只能看到信号频谱的一部分，在时域的不连续点要上冲信号频谱的一部分，在时域的不连续点要上冲选用其它窗函数，例如选用其它窗函数，例如升余弦升余弦窗函数，有可能窗函数，有可能消除上冲消除上冲5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性sin()( )ctdh tdtt()H j例例2已知已知 ，求，求解：解：21()20H j()Sa()2E j( )r t，

9、例例1已知已知 ，求，求解：解：5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性1理想低通滤波器物理不可实现，但可设计出理想低通滤波器物理不可实现，但可设计出 接近接近理想低通的电路理想低通的电路二、系统的物理可实现性、佩利二、系统的物理可实现性、佩利维纳准则维纳准则LRC()H j例例3. 已知已知 ，求，求L+1( )v tCR2( )v t221()11()()11RVjj RCH jRLVjj LLCjj RCR()21()()1()jccH jH jej 22 221(), ( )1 ()1 () ()ccccH jarctg 解：解：1cLC令令 ，并注意

10、到，并注意到 ，则，则LRCL+1( )v tCR2( )v tHj0cc1( ) 0cc/2/222322()33()()22ccccH jj223( )sin()23( )ctcch tet u t( )h tt0与理想低通滤波器区别：与理想低通滤波器区别：冲激响应从冲激响应从 t = 0 开始；衰减特性不太迅速；开始；衰减特性不太迅速；()0H j5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性2 系统物理可实现之系统物理可实现之时域特性：时域特性： ( (充要条件充要条件) )( )( ) ( )h th t u t 的出现是有起因的，不能在冲激作用之前就产生

11、的出现是有起因的，不能在冲激作用之前就产生( )h t3系统物理可实现之系统物理可实现之频域特性频域特性( (幅度幅度) )：佩利：佩利维纳准则维纳准则 （必要条件）（必要条件） 22()ln()1H jdH jd 如果满足如果满足必要条件必要条件 在某段频带内在某段频带内 ，则系统一定非因果，则系统一定非因果，即只允许即只允许 在不连续的有限点上为零在不连续的有限点上为零()0H j()H j 有理多项式函数总能满足上述条件有理多项式函数总能满足上述条件 高斯函数幅度特性无法实现，即高斯函数幅度特性无法实现，即 的衰减特性不能的衰减特性不能 太迅速太迅速()H j22()ln()1H jdH

12、 jd 如果满足如果满足必要条件必要条件解释：解释： 因果，因果， 满足关系，满足关系， 在在 t 0 出现。出现。 将将 向左平移，进入向左平移，进入 t 0 时间范围，则为非因果系统。时间范围，则为非因果系统。 幅度特性相同，相位特性不同，幅度特性相同，相位特性不同，必要条件，非充分条件必要条件，非充分条件()H j()H j( )h t( )h t()H j 应用：如果应用：如果 满足准则，寻找合适的相位函数满足准则，寻找合适的相位函数 ，共同构成物理可实现系统，共同构成物理可实现系统( ) 幅度特性幅度特性+相位特性相位特性 因果系统因果系统5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想

13、低通滤波器、系统的物理可实现性5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性2()H je例例4证明证明 物理不可实现物理不可实现t ( )h t证明：证明：(1) 钟形信号的傅氏变换为钟形信号，而且钟形信号从钟形信号的傅氏变换为钟形信号，而且钟形信号从开始，故开始，故不是因果信号，系统非因果不是因果信号，系统非因果2()H jd (2) 能够满足能够满足 222222lnln()1111(1)1eH jddddlim 2()2(lim)2BBBarctgBB lim()BBarctgB5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性( )

14、( ) ( )1 ( ) ( ) ( )()()()2h th t u th th tu tH jR jjX jFFF11()() ()() ( )2R jjX jR jjX jj 三、利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性三、利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性()H j()R j()X j2因果系统因果系统 的实部的实部 和虚部和虚部 的关系的关系 111 ()( )()()( )()22jR jX jX jR j ()1( )()1( )2222R jXX jRdjd( )( ) ( )h th t u t1系统可实现性的实质是因果性：系统可实现性的实质是因果性：5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性理想低通滤波器、系统的物理可实现性()1( )1( )()()22()1( )1( )()()22R jXXR jdR jdX jRRX jdX jd希尔伯特变换对希尔伯特变换对由于因果性的限制，系统函数的实部和虚部间具有某由于因果性的限制，系统函数的实部和虚部间具有某种相互制约的关系，以种相互制约的关系，以希尔伯特变换形式表示出来希尔伯特变换形式表示出来ln()H j( ) 3 与与 也满足一定的变换关系也满足一定的变换关系5.2理想低通滤