反常积分的审敛法

1、第11章 反常积分§11. 1 反常积分的概念一基本内容一、无穷限反常积分 定义1 设函数在上有定义，且在任意区间上可积，如果存在，则称此极限为在上的反常积分，亦称为在上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作，此时并称收敛如果极限不存在，则称发散 同理可定义，几何解释如图收敛是指图中阴影区域的面积存在二、瑕积分 定义2 设函数在上有定义，且在点的任一右邻域内无界，而在上有界可积，如果存在，则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作，并称收敛，否则称其发散其中称为瑕点无界函数的反常积分亦称为瑕积分同理可得b为瑕点时，当的瑕点，则定义若都是的瑕点，则定义二习题解答 讨论下列无穷积分是否收敛

2、？若收敛，则求其值(1) ； 解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于(2) ；解：由于而所以该反常积分收敛，且收敛于(3) ； 解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于(4) ；解：由于所以该反常积分收敛，且收敛于(5) ； 解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于(6) ；解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于(7) ； 解：由于，所以该反常积分发散(8) 解：由于，所以该反常积分发散2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) ； 解：由于为瑕点，而，所以时，该瑕积分收敛，且值为；所以时，该瑕积分发散(2) ；解：由于为瑕点，而，所以该瑕积分发散(3) ； 解：由于为瑕点，而，同理，所以

3、该瑕积分收敛，且值为(4) ；解：由于为瑕点，而，所以该瑕积分收敛，且值为(5) ； 解：由于为瑕点，而，所以该瑕积分收敛，且值为(6) ；解：令，则，所以该瑕积分收敛，且值为(7) ； 解：令，则所以该瑕积分收敛，且值为(8) 解：由于，为瑕点，又，而时，时，时，所以，瑕积分发散3 举例说明：瑕积分收敛时，不一定收敛解：例如收敛于，但发散4 举例说明：积分收敛，且在上连续时，不一定有解：例如因令得所以收敛，且在上连续，但不存在5 证明：若收敛，且存在，则 证：假设，不妨设，因，所以，于是，从而此与收敛矛盾，故6 证明：若在上可导，且与都收敛，则 证：因为，所以由都收敛知存在，故由上一题知&#

4、167;11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知收敛存在；由极限的柯西收敛准则知存在定理1 收敛性质1 若都收敛，则，也收敛，且性质2 若在上可积，则，与同收同发，且性质3 若在上可积，则收敛收敛，且 定义1 如果收敛，则称绝对收敛二、比较判别法 比较判别法仅应用于绝对收敛的判别 由于单调上升，所以，收敛有上界 定理2 若在上可积，且，则 收敛收敛；而 发散发散推论 (比较判别法的极限形式)若在上可积，且，则与同收同发；时，收敛收敛；时，发散发散当选用为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法定理3 (柯西判别法) 若在上可积，则，且时，收敛；，且

5、时，发散定理(柯西判别法的极限形式) 若在上可积，且，则，且时，收敛；，且时，发散三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别 定理4 (狄立克雷判别法) 若有界，在上单调，且，则收敛定理5 (阿贝尔判别法) 若收敛，在上单调有界，则收敛 二习题解答1 设与是定义在上的函数，与在上可积，证明：若与都收敛，则与亦收敛证：(1) 因为，从而，即故由判别式为负得即而，收敛，所以收敛又，所以收敛证：(2) 因为与都收敛，所以 收敛而，故绝对收敛，亦收敛又所以由四则运算知收敛2 设、是定义在上的三个连续函数，且，证明(1) 若，都收敛，则也收敛；证：因为，所以，而，都收敛，所以，

6、都存在，从而存在，故收敛(2) 若，则证：因为所以，于是由夹逼性定理得，故3 讨论下列无穷限积分的收敛性：(1) ； 解：因为，而收敛，故收敛(2) ；解：因为，而收敛，故收敛(3) ； 解：因为，而发散，故发散(4) ；解：因为，而收敛，故收敛(5) ； 解：当时，发散，当时，收敛(6) 解：因为，所以当时，发散，当时，收敛4 讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛：(1) ； 解：因为，而发散，所以发散又，在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛综上可知条件收敛(2) ；解：因为，而收敛，所以绝对收敛(3) ； 解：因为，而在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛又，而发散，收

7、敛，所以发散，综上可知条件收敛(4) 解：因为,在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛又，而 发散，收敛，所以条件收敛5 举例说明，收敛时，不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛证：例如，收敛，但发散又如，如图则，所以收敛且为绝对收敛但发散6 证明：若绝对收敛，且，则必定收敛证：因为，所以，于是时，又收敛，就上述，取，则时，故收敛7 证明：若是上的单调函数，且收敛，则证：不妨设 ，则实因假设，则时，从而，即，此与收敛矛盾又由收敛得，而，所以时，于是，故8 证明：若在上一致连续，且收敛，则证：假设，则，因为在上一致连续，所以，从而于是，此与收敛矛盾，故9 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法

8、证：因为收敛，所以，即在上有界又单调有界，所以极限存在设，则，从而由狄氏差别法知收敛而故收敛§11. 3 瑕积分的性质与收敛判别一基本内容一、瑕积分的性质 设a为瑕点，由瑕积分的定义知收敛存在，由极限的柯西收敛准则知存在定理1 收敛，性质1 设 a 为瑕点，若、都收敛，则，也收敛，且性质2 设a为瑕点，则，与同收同发，且收敛时，性质3 设 a 为瑕点，若在上可积，则收敛收敛，且 定义1 如果收敛，则称绝对收敛 二、比较判别法 比较判别法仅应用于绝对收敛的判别 定理2 设a为瑕点，若在上可积，且，则 收敛收敛，而 发散发散推论(比较判别法的极限形式) 若在上可积，且，则(1) 时，与同

9、收同发；(2) 时，收敛收敛；(3) 时，发散发散 定理3 (柯西判别法) 若在上可积，则(1) 且时，收敛；(2) 且时，发散定理3 (柯西判别法的极限形式) 若在上可积，且，则(1) 且时，收敛；(2) 且时，发散二习题解答1 讨论瑕积分的收敛性(1) ； 解：瑕点为改写积分为因为发散，所以发散(2) ；解：瑕点为因为，而收敛，所以收敛(3) ； 解：瑕点为因为，而发散，所以发散(4) ；解：瑕点为而，又收敛，所以收敛(5) ； 解：瑕点为而，又发散，所以发散(6) ；解：瑕点为而，所以当，即时收敛；所以当，即时发散(7) ； 解：瑕点为而，所以当时，绝对收敛；又时，而发散，所以此时发散；

10、当时，条件收敛(8) 解：积分表为就，瑕点为，而，所以收敛；就，因，所以收敛综上可知收敛2 计算下列瑕积分的值(1) ； 解：设，则，而，所以(2) 解：令，则，于是，于是，而，所以3 证明瑕积分收敛，且，(提示：利用，并将它们相加)证：瑕点为，而，所以收敛令知，于是而令得所以4 利用上题结果，证明(1) ；证：令，则，于是(2) 证：所以总练习题111 证明下列等式(1) ；证：令，则，于是，所以(2) 证：因为，所以为瑕点令，则，于是所以2 证明下列不等式(1)；证：为瑕点而，所以收敛又设，则，于是而，所以(2)证：因为，所以收敛而故结论成立3 计算下列反常积分的值(1) ； 解：所以为所

11、求(2) ；解：方法同上可得(3) ； 解：，就作变换，则，于是所以(4) 解：设，则，于是4 讨论反常积分,取何值时绝对收敛， 取何值时条件收敛 解：，就，当时，为瑕点当时，而收敛，所以当时，绝对收敛当时，因为，而收敛，所以当时，绝对收敛当时，因为，而发散，所以当时，发散就，当时，发散当时，在上有界，单调以零为极限，由狄氏判别法知收敛而，所以发散，故条件收敛当时，因为，而收敛，所以当时，绝对收敛综上可知，当时，或时，发散；当时，条件收敛；当时，绝对收敛5 证明：设在上连续，(1) 若，则；证：令，则，令，则，于是(积分中值定理,) 令得(2) 若收敛，则证：由(1)得因收敛，所以由柯西收敛准

12、则得，即故6 证明下述命题(1) 设，为上的非负连续函数若收敛，则也收敛 证：因为收敛，所以所以由柯西收敛准则得，而，于是亦有 故收敛 (2) 设，为上的连续可微函数，且当时，递减地趋于0，则收敛的充要条件为收敛证：设收敛，因而(本章第二节第8题)所以收敛设收敛，则，因为递减地趋于0，所以，于是由积分中值定理得，从而又，所以从而，故收敛反常积分无限区间上的积分或无界函数的积分，这两类积分叫作广义积分,又名反常积分. 1.无限区间上的积分 一般地，我们有下列定义 定义6.2 设函数 在区间 上连续，如果极限 （ ）存在，就称上极限值为 在 上的广义积分.记作 即 （ 6.24 ） 这时我们说广义

13、积分 存在或收敛； 如果 不存在，就说 不存在、发散或不收敛. 类似地，可以定义 在 及 上的广义积分. （ 6.25 ） 其中 （ 6.26 ） 对于广义积分 ，其收敛的充要条件是： 与 都收敛. 广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及牛顿莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限. 为方便起见，引入记号 ， 这样，若 为 的一个原函数，则 （ 其中 ） 注意：这里 与 是独立变化的，不能合并成 . 2.无界函数的积分 先给出瑕点或奇点的概念，若 （或 ）时， ，则点 （或点 ）称为无界函数 的瑕点

14、或奇点. 的无穷间断点就是 的瑕点. 定义6.3设函数 在 上连续，左端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作 （ 6.27 ） 这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散. 注： 表明 从大于0的方向趋于0，已经隐含了 . 类似地，设函数 在 上连续，右端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作 （ 6.28 ） 这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散. 还有，设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均为 的瑕点，如果 及 均存在，其中 为 内的

15、一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作 如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散. 对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在. 和 都存在. 其中 为 内的一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的， 另外，设函数 在 上除一个内部点 外连续 ，且内部点 为 的瑕点，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作 （ 6.29 ） 如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散. 对于内部点 为 的瑕点的广义积分 有 存在和 均存在.和 都存在. 广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限. 为方便起见，引入记号 左端点为瑕点时，记 ，这时广义的牛顿莱布尼兹公式为 右端点 为瑕点时， 记 ，这时