复变函数目标检测练习册-2010

1、练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、 填空题14 2 Arg= arg 3.已知z=，则= argz= 4.将z=cos + isin表示成三角形式为 表示成指数形式为 Argz= argz= 5.i的三角表示形式为 ，指数表示形式为 二分别就0与-两种情形将复数z=1 - cos + isin化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。三利用复数表示圆的方程 a2+y2+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d是实常数。四求下列方程所表示的曲线z + = 1zz = 4五证明若z1 + z2 + z3 = 0且1=2=3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接

2、单位圆的等边三角形的顶点。若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且1=2=3=4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。练习二 复数的乘幂与方根、区域一、 填空题1（1i）3（1i）3 2 3z1<<2的内点是 外点是 边界点是 40<Re(z)<1所确定的是 （区域、闭区域） 它是 （有界、无界）二、求下列复数的值（1） 10（2） 三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。四、画出1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7

3、+x3的值。六、求证：（1+cos+isin）n=2ncosn(cos+isin)练习三 复变函数、复变函数的极限和连续性一、 选择题1下列函数极限存在的是（ ）A B. C. D. ()2将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=的映射函数f(z)为（ ）AW= B.W=Z2 C.W= D.W=3复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（ ）A.u=x2+y2 v=2xy B.u=2xy v=x2-y2 C.u=x2 v=2xy D.u=x2+y2 v=2xy4两个实二元函数u=5在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2y2=4映射成W平面上的图形为（ ）A直线u=4 B.圆u

4、2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=+在z=0的极限三、函数W=把下列z平面上的 曲线映射成W平面上怎样的曲线？（1）y=x (2) x=1 (3) (x1)2+y2=1四、试讨论函数f(z)= 练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件一、 选择题1下列命题正确的是（ ）A如果在z0连续，那么存在B如果存在，那么在z0解析C如果在z0解析，那么存在D如果z0是的奇点，那么在z0不可导2下列函数仅在z=0处可导的是（ ）A. 2 B. =x+2yi C. =z2 D. =3下列函数在复平面内处处解析的是（ ）Af(z)= B.f(z)=ex(cosy+isiny)

5、 C.f(z)= D.f(z)=4.下面各式是柯西黎曼方程的极坐标形式的是（ ）A= =-B. = =-C. = =-D. =r =-r5下列说法正确的是（ ）A如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点B如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点C如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点D如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)/g(z)的一个奇点二设ay3+bx2y+i(x3+pxy2)为解析函数，试求a,b,p之值。三下列函数在何处可导，何处解析，并求可导处的

6、导数1f(z)= 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y3-3x2y)+i(x3-3xy2+1)四设f(z)=u+iv=为解析函数，证明：若函数u,v,之一恒等于常数，则函数f(z)亦为常数。练习五 初等函数一 填空题1i2-i= (-1) = 1i= 2.e= eln(1-i)= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二解方程1sinz+1=0 z为复数2e z=-1 z为复数三求22i的主值及主值的辐角主值四当z=x+iy时，试证下列不等式（1） (2)练习六 复变函数积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理一 填空题1 设C为正向圆周：=3 则= = = (n为大于

7、1的正整数)2= 其中C为正向圆周：23 其中C为正向圆周：44 其中C为正向圆周：15 其中C为正向圆周：二求和，其中和的起点和终点相同，都是0和1i，但路径不同，是连接这两点的直线段，是经过z=1的折线段。三试求下列积分的值（1）c= (2)c= (3)c= (4)c= 四设0<r<R,求函数沿圆周（正向）的积分，并由此推证 练习七 原函数与不定积分 柯西积分公式一 填空题1dz 其中C为正向圆周：2 3若f(z)=(z-z)(z-z2)(z-z)(zz;ij,i,j=1,n,n>1),又若封闭曲线C不通过每一点z,则积分能取 个不同的值。4dz 5 dz 二求积分dz其

8、中C为正向圆周：三求函数沿正向圆周C：的积分值，设圆周C的圆心分别在：（1）z=1; (2) z=; (3) z=-1; (4) z=-i四设f(z)=(1)试证f(1)=4i(2)当时，试求f(z)之值练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系一 填空题1 2 3如果二元实变函数f(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称f(x,y)为区域D内的调和函数。4区域D内的解析函数的虚部 （是，不是）实部的共轭调和函数，实部 （是，不是）虚部的共轭调和函数。二设C是不通过z的简单闭曲线，试求g(z)=的值。三求积分的值，若C为正向圆周：（1） （2） （3）四已知为调和函

9、数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv练习九 复数项级数 幂级数一 选择题1下列数列极限不存在的是（ ）A B. C. D.2下列结论正确的是（ ）A每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B每一个幂级数收敛于一个解析函数C每一个在z连续的函数一定可以在z的领域内展开成幂级数D在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数3下列级数绝对收敛的是（ ）A B. C. D.4.下列级数收敛半径为的是（ ）A B. C. D.5=（ ）A0 B. C.1 D.为0 为 为1 时不存在二下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1） （2） （3） （4）三设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1练习十 泰

10、勒级数 洛朗级数一 将函数f(z)=展开成z的幂级数，写出它的收敛圆周。二求函数在点z-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。三（1）求函数f(z)=在以z0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。（2）求函数f(z)=在以z1为中心的圆环域： 内的洛朗展开式。练习十一 孤立奇点一 选择题1Z0是函数的（ ）A可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.解析点2z1是f(z)=的（ ）A可去奇点 B.三级极点 C.本性奇点 D.二级极点3z1是f(z)的（ ）A一级零点 B.三级零点 C.一级极点 D.三级极点4z0是函数f(z)=的 级极点A一级 B.二级 C.三级 D.四级

11、5是f(z)=的（ ）A可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点二求出函数f(z)= 的奇点，如果是极点，指出它的级。三函数f(z)=在扩充复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。练习十二 留数 留数在定积分计算上的应用一 填空题1 设f(z)=，则Res= 2 Res= 3 Res= 4 Res= 5 Res= 二求函数f(z)=在各有限孤立奇点处的留数。三利用留数计算，其中C为一正向圆周（1）C的中心在0点，半径为（2）C的中心在0点，半径为2四计算积分dz，C为正向圆周：5五计算下列积分（1） （2） （3）六如果f(z)在解析，证明在时等式成立。练习十三 共形映射

12、的概念 分式线性映射一 填空题1设函数在z的领域内有定义，且在z具有 ，那么称映射在z是共形的，或称在z是共形映射。2在z=i处伸缩率为 ，旋转角为 。3一个解析函数所构成的映射在 条件下具有伸缩率和旋转角的不变性。4映射是第 类共形映射。5映射把上半个圆域：，Im(z)0映射成 二证明：映射 把圆周映射成椭圆： 三如果函数将z平面上的单位圆映射成平面上的直线，试求a,b,c,d应满足的条件。四区域在映射下映射成什么？练习十四 唯一决定分式线性映射的条件 几个初等函数所构成的映射一 选择题1下面几个映射中，能将上半平面映射成上半平面的映射为（ ）A ,a,b,c,d为实常数B ,a,b,c,d

13、为实常数C， 为实数D2指数函数将水平的带形域映射成（ ）A角形域 B.角形域C角形域 D.圆域3能将点z1,i,-i分别映射成点w1,0,-1的分式线性映射为（ ）A B.C. D. 4.下面几个映射中，能将右半平面映射成单位圆的映射为（ ）A B. 其中为任意实数C D. 其中为任意实数二已知分式线性变换将上半平面变到上半平面，且满足f(0)=0,f(i)=1+i，求f(z)三求把区域变到上半平面的一个映射。复变函数单元练习（一）一、 判断题（正确打，错误打）1.复数. ( )2.若为纯虚数，则. ( )3.。 （ ）4.在点连续的充分必要条件是在点连续。 （ ）5.参数方程 （为实参数）

14、所表示的曲线是抛物线. ( ) 二、填空题1.若等式成立，则_, _.2.方程表示的曲线是_.3.方程的根为_.4.复变函数的实部_,虚部_.5.设,，则= _ _.6.复数的三角表示式为 _，指数表示式为_.三、计算、证明题 1求出复数的模和辐角。2设满足求与的关系式。3求 =将平面上的直线所映射成平面上的曲线方程。 4求角形域在映射下的象。 5将直线方程化为复数形式。复变函数单元练习（二）一、 判断题（正确打，错误打）1.若在区域D内处处为零，则在D内必恒为常数。 （ ） 2.若可导，则也可导。 （ ）3.若在点不解析，则在点必不可导。 （ ）4. . （ ）5.函数在点可微等价于在点可微

15、。 （ ）6.函数是周期函数。 （ ）二、填空题1.设 , 则_2. _.3. _.4. _.5.方程的解为_.6.设, 则的模为_.7.函数在点连续是在该点解析的_条件。三、计算、证明题1问取何值时, 在域内是解析函数。 2讨论函数在何处可导，何处解析，并求其可导点处的导数。3若函数解析,且,求证为一个常数。 4若函数解析,且，试求. 5求方程的全部解。复变函数单元练习（三）一、 判断题（正确打，错误打）1.设C为的解析域D内的一条简单正向闭曲线,则 . （ ）2.若都是调和函数，则是解析函数。 （ ）3.设在单连通区域D内解析，是的一个原函数，C为D内的一条正向闭曲线，则. ( )4.设是

16、区域D内的调和函数，则函数在D内解析。 ( )5.若函数在D内解析，则函数. ( )二、填空题1.设C为从点到点的直线段，则_.2.若C为正向圆周，则_.3.若C为正向圆周，则_.4.若函数为区域D内的调和函数，则_.5.若，则_,.三、计算、证明题1设点A，B分别为和，试计算的值，其中C为（1） 点到点的直线段；（2）由点沿直线到再到的折线段.2设C为从-2到2的上半圆周，计算积分的值。3计算4计算，其中C为正向圆周.5计算积分，(1)当点0在C内，点1在C外；(2)当点1在C内，点0在C外；(3)当点0，1均在C内；(4)当点0，1均在C外。6证明为调和函数，再求其共轭函数，并写出 关于z

17、的表示式。复变函数单元练习（四）一、判断题（正确打，错误打）1.数列必收敛。 （ ）2.设，则级数收敛的充要条件是级数与都收敛。（ ）3.每个幂级数必在其收敛圆上收敛。 （ ）4.若幂级数在点收敛则它必在点收敛。（ ）5.若幂级数在处收敛，则它必在处收敛。 （ ）二、填空题1. 设的收敛域为，则幂级数的收敛域为_.2.幂级数的收敛圆的中心为_,收敛半径为_.3.函数在处所展泰勒级数的收敛半径为_.4.设的罗朗级数展开式为，则其收敛圆环域为(A) ； (B) 或；(C) 或； (D) .三、计算、证明题1将函数在处展开成泰勒级数，并指出其收敛半径。2将分别在下列圆环域内展成罗朗级数(1) (2)

18、 . 3将在圆环域内展开成罗朗级数。复变函数单元练习（五）一、判断题（正确打，错误打）1. 必为的可去奇点。 ( )2.若，且在点解析，则必是的m极零点。( )3.若是的m级(m>1)极点，则必为的m+1级极点。 ( )4. =0是的可去奇点。 （ ）5.已知在内成立，由式中知，. （ ）二、选择、填空题1. 为函数的_.(A) 二级零点； （B） 一级极点； (C) 可去奇点； (D) 本性奇点。2. 是的_. (A) 非孤立奇点；（B）一级极点； (C) 可去奇点； (D)本性奇点。3. =0为函数的_级极点。4. _.5.三、计算、证明题1判别下列函数的孤立奇点的类型，对其极点，指出其级数：（1） （2）2求下列函数在有限孤立奇点处的留数：（1）（2）（3）（4）（5）复变试卷 一、判断题（正确打，错误打.）1.复函数表示平面上的一条曲线。 （ ）2.函数在区域D内处处可导,是在D内解析的充要条件。 （ ）3