第五章电子自旋

1、第五章 电子自旋 从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄拉克（Dirac）方程从理论上导出的。进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。 在电子自旋的学习中，首先要了解电子自旋的实验依据及自旋假设，重点掌握电子自旋的描述，同时能应用电子自旋的理论解释原子光谱现象。1 电子自旋的实验依据及自旋假设1.1 光谱线的精细结构在人们考虑电子轨道角动量时，量子数只能取一系列分立值：，只能初步解释原子光谱的一些规律，后来在比较精密的实验中发现：在无外场情况下，原有谱线存在细致的分裂现

2、象，光谱线的这种自然分裂现象被称为光谱线的精细结构现象，其原因不能有电子的轨道角动量来解释，还必须考虑其内部因素电子存在自旋。如钠原子光谱中有一谱线，波长为D=5893Å。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成的。 D1=5895.93 Å D2=5889.95 Å Na的D线：3p3s的精细结构有二条。 粗单线精细双线1.2 反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 如果将原子至于均匀磁场中，也能观测到光谱线的分裂现象塞曼效应。塞曼效应分正常（简单）和反常（复杂）两种情况，前者可以用轨道角动量的空间量子化来解释，即轨道磁量子数只能取个奇

3、数值。但后者则无法仅用轨道角动量来解释，必须认为电子具有除轨道角动量之外的其它半整数角动量。1.3 斯特恩盖拉赫实验（Stern-Gerlach）（1922年） 当使基态的氢原子束通过不均匀磁场时，观测到原子束仅分裂成两束，即仅两个态。这个实验直接证实了半整数角动量的存在。因为，对于基态，无轨道磁矩；而角动量的空间分量是 ，因只有两个态，量子数只能是，它不可能是轨道的，只能是电子自身固有的角动量，称其为电子自旋角动量，并用表示。1.4 （G. Uhlenbeck）（乌伦贝克） S.Goudsmit（古德斯密特）假设 1925年二人合作根据实验结果提出电子自旋的假设：（1）电子具有自旋角动量，它

4、在空间任何方向上的投影值（测量值）仅取两个值，例如 方向 （1）（2）由于电子具有自旋，实验发现，它也具有自旋磁矩（内禀磁矩），它与自旋角动量关系是 （2） 和分别是电子的电荷和质量，在空间任何方向上的投影值（测量值）仅取两个值 （玻尔磁子） （3）电子自旋与轨道角动量的不同之处：电子自旋纯粹是一种量子特征，它没有对应的经典物理量，不能由经典物理量获得其算符。电子自旋虽具有角动量的力学特征，但不能像轨道角动量那样表达成坐标和动量的函数，即电子自旋是电子内部状态的反映，它是描述微观粒子的又一个动力学变量，是继之后的描写电子自身状态的第四个量；电子自旋值不是的整数倍而只能是；电子自旋的回转磁比率，

5、它是电子轨道运动回转磁比率 的两倍。2. 自旋的描述2.1 自旋波函数（1）电子状态波函数 实验表明，电子不是一个简单的只具有三个自由度的的粒子，它还具有自旋这个自由度，要对它的状态作出完全的描述还必须考虑其自旋状态。确切的说，要考虑电子自旋在某给定方向上的投影的取值，所以电子状态波函数中还应包含自旋投影这个变量。习惯上取轴方向投影变量记为，这样电子状态波函数应写为 （4） 规定第一行对应电子自旋为的状态，第二行对应电子自旋为的状态。在对电子状态波函数进行归一化时，必须考虑既对空间坐标积分又要对自旋变数求和，即 （5） 其中，分别表示在时刻在处单位体积内找到自旋为和的电子的概率。表示在时刻在处

6、单位体积内找到电子的概率。（2）自旋波函数 空间变量和自旋变量虽然是彼此独立的，但这并不意味者空间运动和自旋运动在任何情况下都相互无关，在许多情况下二者是相互联系相互作用的，因此，空间变量和自旋变量一般是不能分离的，只是在某些特殊情况下，轨道与自旋的相互作用小到可以忽略时，波函数才可以分离变量，写成 （6）式中是描述电子自旋状态的波函数，简称为自旋波函数，一般应表示为二分量形式 （7） 其中 表示自旋的概率，表示自旋的概率。自旋波函数的归一化条件为 （8）的具体形式要在具体表象中确定。2.2自旋算符 和所有力学量一样，在量子力学中自旋角动量也应用算符表示。在量子力学中决定算符本质属性的是它的对

7、易关系，所以按一般角动量理论，自旋算符的对易关系定义为 （9）它的分量式为 （10）或简记为 其中 力学量算符的本征值就是实验中的观测值，由斯特恩盖拉赫实验可知，自旋算符的本征值都是，写为 （11）式中 为自旋量子数，它只能取值；为自旋磁量子数，它只能取值或。定义自旋平方算符为 （12）由于本征值 ，所以的本征值为 （13）注意平方算符的本征值是唯一的，又称为常数算符。 引入无量纲的泡利算符， （14）由的对易关系可得 （15） （16）或简记为 其中 的本征值 （17） 常数算符及的本征值分别为 （18） （19）算符间还存在反对易关系 （20）由（16）、（20）可得 ，与。 应注意：上述

8、和是两套平行的描述自旋的算符，只是的本征值计算起来简洁一些。2.3自旋算符的矩阵形式 自旋函数是矩阵，作用在自旋函数上的自旋算符应该是矩阵。令泡利（Pauli）矩阵 由表象理论知，若采用表象，则应是对角化的，对角元素即为其本征值，由于的本征值为，所以 （21）关于在表象中的具体形式，可根据算符的厄米性，设利用可得 于是 这样写成 （22）由于的本征值为1 所以 单位矩阵则 令 （为实数） 这样 （23） 类似可得 （24）利用 可得 即有 由于和之间有一个相角不定性（相当于取定轴后，轴取向并未取定，只确定了轴之间的关系），习惯上取 从而可得，在表象中，泡利矩阵的标准形式为 （25）在表象中，自

9、旋算符矩阵表示的标准形式为 （26）注意以下两点： （1）只是在三个特殊方向上的投影，若以表示在任意方向（方向余弦是）的投影，则 （27） （2）以上讨论的是表象，若在表象中，应为对角矩阵，通过坐标轮换得 矩算 符 阵表象 2.4本征值和本征函数令的本征函数为，对应的本征值为，写出本征方程 即由此可得 有非零解的条件 由此得 ，即的本征值为。 对应 得 所以 利用归一化条件 得 我们取 （实际取 中的相角） 所以 （29）同理 （30） 这两个对应不同本征值的本征函数正交 并且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意自旋态均可以它们为基矢展开 （31） 注意以下几个问题： （1）表象中，

10、的本征值和本征函数 由于本征值不随表象而变化，可见的本征值均为，相应的本征函数为 （32）它们可用的本征函数来展开 （2）利用球坐标系分析任意方向上的投影算符的本征函数 求解本征方程 容易得到 即本征值也为 取 则利用第二式 得 利用归一化条件得 取 则 于是得 同理可得 当时，可得 ；当时，可得 。显然的本征函数可以用的本征函数展开 由此可以看出，在态中，出现的本征值为的概率为，本征值为 的概率为 。（3）任意表象中的本征值和本征函数例如，在表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函数 事实上，将表象结果通过坐标轮换即可： 可自行证明2.5对波函数作用的任意算符考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式