导数公式的证明版

1、导数的定义：f'(x)=lim y/x    x0（下面就不再标明x0了）用定义求导数公式（1）f(x)=xn  证法一：（n为自然数）f'(x)=lim (x+x)n-xn/x=lim (x+x-x)(x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)/x=lim (x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)=x(n-1)+x*x(n-2)+x2*x(n-3)+ .x(n-2)*x+x(n-1)=nx(n-1) 证法二：（n为任意实数）f(x)

2、=xnlnf(x)=nlnx(lnf(x)'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xnf'(x)=nx(n-1) （2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+x)-sinx)/x=lim (sinxcosx+cosxsinx-sinx)/x=lim (sinx+cosxsinx-sinx)/x=lim cosxsinx/x=cosx （3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+x)-cosx)/x=lim (cosxcosx-si

3、nxsinx-cosx)/x=lim (cosx-sinxsinx-cos)/x=lim -sinxsinx/x=-sinx （4）f(x)=ax证法一：f'(x)=lim (a(x+x)-ax)/x=lim ax*(ax-1)/x（设ax-1=m，则x=loga(m+1)）=lim ax*m/loga(m+1)=lim ax*m/ln(m+1)/lna=lim ax*lna*m/ln(m+1)=lim ax*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim ax*lna/ln(m+1)(1/m)=lim ax*lna/lne=ax*lna 证法二：f(x)=axlnf(

4、x)=xlnalnf(x) '=xlna 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=axlna若a=e，原函数f(x)=ex则f'(x)=ex*lne=ex （5）f(x)=logaxf'(x)=lim (loga(x+x)-logax)/x=lim loga(x+x)/x/x=lim loga(1+x/x)/x=lim ln(1+x/x)/(lna*x)=lim x*ln(1+x/x)/(x*lna*x)=lim (x/x)*ln(1+x/x)/(x*lna)=lim ln(1+x/x)(x/x

5、)/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna) 若a=e，原函数f(x)=logex=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+x)-tanx)/x=lim (sin(x+x)/cos(x+x)-sinx/cosx)/x=lim (sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+x)=lim (sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinx/(xcos

6、xcos(x+x)=1/(cosx)2=secx/cosx=(secx)2=1+(tanx)2 （7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+x)-cotx)/x=lim (cos(x+x)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x=lim (cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinx/(xsinxsin(x+x)=-1/(sinx)2=-cscx/sinx=-

7、(secx)2=-1-(cotx)2 （8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+x)-secx)/x=lim (1/cos(x+x)-1/cosx)/x=lim (cosx-cos(x+x)/(xcosxcosx)=lim (cosx-cosxcosx+sinxsinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinxsinx/(xcosxcos(x+x)=sinx/(cosx)2=tanx*secx （9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+x)-cscx)/x=lim (1/sin(x+x)-1/sin

8、x)/x=lim (sinx-sin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (sinx-sinxcosx-sinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinxcosx/(xsinxsin(x+x)=-cosx/(sinx)2=-cotx*cscx （10）f(x)=xxlnf(x)=xlnx(lnf(x)'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*xx（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+x)g(x+x)-f(x)g

9、(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)-g(x+x)*f(x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+x)/x=lim (f(x+x)-f(x)*g(x+x)/x+(g(x+x)-g(x)*f(x)/x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) （13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+x)/g(x+x)-f(x)g(x)/x=lim (f(x+x)g(x)-f(x)g(x+x)/(xg(x)

10、g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)+g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)/(xg(x)g(x+x)=lim (f(x+x)-f(x)*g(x)/(xg(x)g(x+x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+x)=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)x

11、0;（14）h(x)=f(g(x)h'(x)=lim f(g(x+x)-f(g(x)/x=lim f(g(x+x)-g(x)+g(x)-f(g(x)/x（另g(x)=u，g(x+x)-g(x)=u）=lim (f(u+u)-f(u)/x=lim (f(u+u)-f(u)*u/(x*u)=lim f'(u)*u/x=lim f'(u)*(g(x+x)-g(x)/x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x)g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)（15

12、）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/1-(siny)2(siny=x)=1/1-x2即f'(x)=1/1-x2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)2=1+x2所以(arctanx)'=1/1+x2即f'(x)= 1/1+x2总结一下（xn）'=nx(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（ax）'=axlna（ex）'=ex（logax）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)2=1+(tanx)2(cotx)'=-(cscx)2=-1-(cotx)2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-co