第八章常用统计分布

1、 第八章 常用统计分布 第一节 超几何分布适用：小群体的两分变量。假定总体为K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率分布，它的数学形式是 2.超几何分布的数学期望值和方差如果用 ，则有 3.关于超几何分布的近似设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。 解 抽到外国留学生人数X服从N1000、K10、n2的超几何分布，根据(81)式得 两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在01时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我

2、们将在下一节讨论。 第二节 泊松分布适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但是发生的概率非常小。泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量X为样本内成功事件的次数。若为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀有事件出现的次数）的概率分布为 泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图形是非对称的，但随着的增加，图形变得对称；泊松分布的数学期望和方差均为。 第三节 卡方分布卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表检验。 1.数学形式 设随机变量X

3、1，X2，Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (，2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且 我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。 关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临界概率(01)，给出了满足下面概率式的 的值(参见图)。注意 写法的含义：它表示自由度为k的卡方分布，当其分布函数 时，其随机变量 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上卡方分布随机变量 的临界值。

4、2. 卡方分布的性质 (1) 恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值 E(X2) 是自由度k，方差 D(X2) 为2k。 卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数和无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布 式中：2代表总体方差，自由度为nl。 第四节 F 分布F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设

5、计的理论基础。1.数学形式 设X2(K1) 和 X2(K2) 相互独立，那么随机变量 服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。3. 样本方差的抽样分布 例 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知26，求样本方差S 2在3.3到8.7之间的概率。 解 已知n25，26，由 得 所以，样本方差S 2落在33和87之间的概率约为90。 我们把随机变量F的概率分布称为F分布，其概率密度记作 。本书附表8，对不同自由度(k1，k2)及不同的临界概率(01)，给出满足下列概率式的F(k1，k2)的值(参见图)。 注意 F&(K1,K2) 写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的F分布，当其分布函数 时，其随机变量F的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上F 分布随机变量 F 的临界值。 如果 S12和 S22 是两个独立随机样本的方差，样本来源于具有相同方差2的两个正态总体，样本容量分别为n1和n2，那么根据(822)式，随机变量F 服从于自由度为(n1