第十二章数项级数

1、第十二章 数项级数一、单选题（每题2分）1、 设常数,则级数( )A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与有关2、 设是常数，则级数（ ）A绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与的取值有关3、 级数（ ）A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关4、 设常数，且级数收敛，则级数（ ）A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关5、 设，且级数收敛，常数，则级数（ ）A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与有关6、 设，则级数（ ）A. 与都收敛 B. 与都发散C. 收敛而发散 D. 发散而收敛7、 设，则下列

2、级数中肯定收敛的是（ ）A. B. C. D. 8、 下列各选项正确的是（ ）A. 若和都收敛，则 收敛B. 若 收敛，则和 都收敛C. 若正项级数发散，则 D. 若级数收敛，且，则级数也收敛9、 若级数和都发散，则（ ）A. 发散 B. 发散C. 发散 D. 发散10、和符合（ ）条件，可由发散推出发散。A. B. C. D. 答案 CCCCA CDACD二、判断题（每题2分）1、 若发散，则不趋于零 （ ）2、 若的部分和数列有界，则收敛 （ ）3、 与满足，且收敛，则收敛 （ ）4、 与均收敛，且，则收敛 （ ）5、 与都收敛，则收敛 （ ）6、 若给加括号后级数发散，则发散 （ ）7、

3、 若收敛，发散，则发散 （ ）8、 发散，发散，则发散 （ ）9、 若收敛，且，则收敛 （ ）10、 若收敛，则发散 （ ）11、 若绝对收敛，则收敛 （ ）12、 若，则收敛 （ ）13、 设级数收敛，且绝对收敛，则级数也收敛 （ ）14、 若级数收敛,则必有收敛 ( )15、 若收敛, ,则一定收敛 ( )答案××× ×× ×三、填空题（每题2分）1、等比级数(a0)当 时收敛，当 时发散；2、当p_ 时绝对收敛；3、若，则级数 ；4、若与都收敛，则 5、若，则级数 6、若与都收敛，则 7、正项级数的部分和数列有界是正项级数收敛的

4、 条件。8、若数项级数收敛, 则答案1、|q|<1, 2、 3、发散 4、收敛 5、发散 6、收敛7、充分必要 8、0 四、判断下列级数的敛散性（每题5分）1、解：由于即原级数的通项不趋于零，故原级数发散2、解：当则 故原级数发散3、解：因为而级数收敛，则原级数收敛4、解：因为 ，当充分大即时成立而收敛，故原级数收敛5、解：由于当时，因此 同时 于是有 又级数 收敛，则原级数收敛6、解：由于 因此 当，即时，原级数发散；当，即时，原级数收敛7、解：当 时，则原级数收敛时，则原级数收敛时, ,则原级数收敛 时,原级数显然收敛8、解：设 则则数列从开始递减，又，则原级数收敛9、解：将此级数分

5、为两个级数，此二级数都收敛，故原级数收敛10、解：因为，而 发散，即不绝对收敛，但是单调递减且 ，所以条件收敛11、解：数列当时有同时 当时有 ，即严格单调递减且有界；当时，原级数即为，满足莱布尼兹条件，即收敛当时，有，即严格单调递增且有界；又由于是收敛的，故由Abel判别法知原级数收敛12、解：由于当时，有即的部分和数列有界，而数列单调减，且，故由Dirichlet判别法知原级数收敛五、证明题（每题5分）1、 设数列有界，证明收敛；证明：由于有界，则存在M，使得 ，即，又 收敛，则收敛2、 设收敛，且，求证 收敛且证明：由于 =又收敛，且，则存在且故 原题得证3、若与均收敛，且，则收敛；证明

6、：由于 ，则又因为 与均收敛，则收敛，由比较判别法知收敛，而，故收敛。4、设收敛，且级数绝对收敛，则级数绝对收敛；证明：设级数收敛于，则 其中 从而 则存在M，使对一切有 又 ，而绝对收敛，故绝对收敛5、设，证明：级数收敛；证明：因为所以 又，故单调减少且有下界，故收敛，从而级数收敛。6、设级数收敛，且绝对收敛，则级数也收敛；证明：由题设收敛，则由cauchy准则，当时，有 ， 即 又由收敛，则其部分和数列收敛。由cauchy准则，对上述当时，有 故对，有 由式，式知，数列和都收敛，从而都有界。即，有 与综上所述知，有=+即 级数也收敛7、设在点的某邻域内有二阶连续导数，且，证明：级数绝对收敛；证明：由题设知，在点的某邻域内有二阶Taylor公式又由 的连续性知，于是令 ，得 。因 收敛，故级数绝对收敛8、若正项级数收敛，且数列单调，则；证明：由于正项级数收敛，即 故数列单调递减。由Cauchy准则知 ，有 又当 时， 从而当时，取，则 因而 ，故9、设，证明数列与级数同时收敛或同时发散；证明：由于数列与级数有相同的敛散性。因而本题只需证和的敛散性相同，这两者之一若收敛