换元法在中学数学解题中的应用及推广

1、目 录1. 引言2一、换元法研究的背景2二、换元法研究的意义2三、换元法研究的方法32. 换元法的发展脉络33. 换元法的概念44. 换元法在中学解题中的应用5一、换元法在方程中的应用5二、换元法在方程组中的应用7三、换元法在不等式中的应用7四、换元法在数列中的应用8五、换元法在复数中的应用9六、换元法在函数和三角函数中的应用105. 换元法在中学解题中的常见错误13一、“元”与“新元”选择不合理；13二、将复合函数与原函数混淆；14三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；156. 结论15参考文献17致谢18换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院 数学系；福建

2、福州 350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景 数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，

3、换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义 学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和解决实际问题当中去. 换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透

4、的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用.三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础. 2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·波利亚怎样解题.被翻译成16中文字，销售量爆表.著名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该

5、读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本著名数学家米山国藏的数学的精神、思想与方法.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里·普特南(H.Hilary Putnam，1926)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的数学、物质与方法美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"数学奥林匹

6、克"的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了中学数学的基本思想和方法等四部专著，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的数学常用解题方法与技巧不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用

7、.解恩泽、徐本顺主编的数学思想方法，欧阳维诚、肖果能及张矗 合写的初等数学思想方法选讲中，则对换元法这一思想方法进行了较为系 统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的数学方法与解题研究，也是把换元法与数学教育紧密结合在 一起的论著.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值 域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数 学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料. 3. 换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元

8、”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归. 在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培

9、养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题

10、的相关知识上）. 4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）x+2x-1+x-2x-1=2；（2）x+2x-1+x-2x-1=1；（3）x+2x-1+x-2x-1=2；解： （1）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y则原方程转化为： y+1+y-1=2需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：-1y1，又 y=2x-10， 02x-11，解得这个不等式的解为：12x1故，当12x1时，方程x+2x-1+x-2x-1=2成立（2）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y则

11、原方程转化为： y+1+y-1=2，得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y则原方程转化为：y+1+y-1=22当y-1时，新元方程可以化为y=-4，即y=-4；当y1时，新元方程可以化为y=4，即y=4；当-1<y<1时，新元方程化为y+1-y+1=22，明显无解 综上所述，转换后的新元方程的解为y=-4或y=4.又 y=2x-10， y=4，即原方程的解为：x=8.5这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：cos

12、2x+cos22x+cos23x=1分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解： 将cos2x看成“元”，用“新元”y代替，则cos2x=y则有：cos2x+cos23x=121+cos2x+1-cos6x =1+12cos2x+4cos32x-3cos2x =1+y2y2-1 =2y3-y+1故，原有的方程转化为：y2+1+y2y2-1=1，即y2y2+y-1=0 y1=0，y2=-1，y3=12所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1）cos2x1=y1=0，2x1=2+k，即有x1=4+k2 k=0，±

13、;1，±2，；（2）cos2x2=y2=-1，2x2=+2k，即有x2=2+ k k=0，±1，±2，；（3）cos2x3=y3=12，2x3=±3+2k，即有x3=±6+ k k=0，±1，±2，；综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的

14、方程组化成为低次的.例题3.解方程组： 解： 设a=13x-2y，b=12x-5y；则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5. （第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x21-1+2x2<2x+9解： 将1+2x看做“元”，用“新元”y替换，则1+2x=y；既有x=y2-12； 故，原不等式可以转化为：y2-121-y2<y2-1+9易得y1；既1-y2>0；故y2-12<1-y2y2+8；解得：y<72故，01+2x<72；即原不等式解得：-12x<458例

15、题6.如果p+q+r=1，且满足0p，q，r1，请证明：p+q+r3.分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于0p，q，r1，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令p=cos2x，q=sin2xcos2y，r=sin2xsins2y，其中有x，y0，2； 则有：p+q+r=cos2x+sin2xcos2y+sin2xsins2y =cosx+sinxcosy+sinxsiny =cosx+sinxsiny+cosy =cosx+2sinxsiny+4 cosx+2sinx =3sinx+z 3故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列n由循环公式1=1，

16、n+1=1161+4n+1+24n构成，其中n=1，2，3，求n的通项公式是什么？解： 将1+24n看成“元”，用xn为“新元”替换，既有1+24n=xn；则有n=124xn2-1由此可得：1=1，2=58，3=1532，4=51128，既有：x1=5，x2=4，x3=312，x4=314，根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列 xn 的通项公式为：xn=3+(12)n-2接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列an中，1=1，1+22+33+44+nan=n+12an+1nN*，求数列an的通项公式an.解： 将nan看成“元”，用“新元”bn替换

17、，设nan=bn；则有bn的前n项和为：sn=b1+b2+b3+b4+bn=12n+1an+1=12bn+1由bn=sn-sn-1=12bn+1-12bn故，32bn=12bn+1既有，bn+1bn=3，且b1=a1=1；所以bn=3n(n2)；故，当an=23n-2nn2，a1=1五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数y=x2+a2+

18、c-x2+b2的最小取值为多少？解： 可以设z1=x+i，z2=c-x+bi，且a，b，c均大于0 z1+z2=c+a+bi，且z1，z20；又 z1=x2+a2，z2=c-x2+b2，z1+z2=a+b2+c2；根据性质z1+z2z1+z2，（z1，z2同向时等号成立）x2+a2+c-x2+b2a+b2+c2；所以，当z1，z2同向时，即有xc-x=ab，ymin=a+b2+c2；例题10.设复数z1和z2满足z1z2+Az1+Az2=0，其中A是不等于零的复数，请证明：（1）z1+Az2+A=|A|2；（2）z1+Az2+A=z1+Az2+A；分析：如果这一题按照常规方法设：z1=a1+b

19、1i，z2=a2+b2i，A=a+bi，a1，b1，a2，b2，a，bR；转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设=z1+A，=z2+A，则：已知条件便转化为：=|A|2；要证明的结论也相应的转化为：（1）=|A|2，=那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用 利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数fx=2x5

20、+3x3-x2-4x+12，求f(1-2)的值.解： 方法一：将“元”x用“新元”1-2替换，则有：f1-2=21-25+31-23-1-22-41-2+12；我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设1-2=x，则有x2+2x-1=0，再设x2+2x-1=t；（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数fx，将式子中的x2+2x-1看成一个整体进行构造零因子.）fx=2x5+3x3-x2-4x+12 =2x3-4x2+13x-31x2+2x-1+71x-19 =71x-19 =711-2-19 =52-712例题12.已知fx+1x=x2+1x2+1x，

21、求fx的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代.解： 设x+1x=t；则有x=1t-1，且(t1)； fx+1x=x2+1x2+1x ft=1t-12+11t-12+11t-1 ft=t-12+1+t-1 ft=t2-t+1故，函数的解析式为fx=x2-x+1，x1.总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是ft=t2-t+1含有t的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成x1.例题13.（2009年全国高考文科卷）已知ABC是三角形的三个内角A、B、C，且满

22、足条件：A+C=2B，1COSA+1COSC=-2COSB，求cosA-C2的值.分析：隐含条件“三角形的内角和为180°”，且条件给的答案“A+C=2B”，故可以利用A+C=120°进行换元.解： 设A=60°+，C=60°-，则有=A-C2；故，1COSA+1COSC=1COS60°+1COS60°-=112COS-32sin+112COS+32sin=-22解得：cos=22，即有：cosA-C2=22.例题14.设a>0，求fx=2asinx+cosx-sinxcosx-2a2的值的最大与最小分别是多少？解： 设sinx

23、+cosx=t（t-2，2），故sinxcosx=t2-12；fx=gt=2at-t2-12-2a2=-12t-2a2+12a>0，t-2，2；（1）当t=2a2时，有t=sinx+cosx=2sinx+4=2，x=2kx+4，kZ；fxmax=g2=-2a2+22a-12此时t=2a=-2时，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2,x=2kx-34，kZ；fxmin=g-2=-2a2-22a-12（2）当t=2a-2时，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2，x=2kx-34，kZ；fxmax=g-2=-2a2-22a-12此时t=2a=2时，有t=sinx+cosx=

24、2sinx+4=2,x=2kx+4，kZ；fxmin=g2=-2a2+22a-12（3）当-2<t<2时， fxmax=g2a=12综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题. 换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道

25、换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因 此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”. 5. 换元法在中学解题中的常见错误 虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1 设x1-y2+y1-x2=1，求x+y的最值.错解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1； 设x=cos，y=sin，0，2； coscos+s

26、insin=1；等式两边同时平方可得：sin2=0， =k2，kZ； x+y=cos+sin=2sin+4=2sink2+4，kZ； x+y的最大值为1，最小值为-1；错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件x2+y2=1.正解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1；又 x1-y2+y1-x2=1 ； 0<y1，0<x1； 设x=cos，y=sin，、0，2； 原条件可以转化为： cos sin+sincos=1，即cos-=1；又 2- 2， -=0，即 =； x+y=cos+sin=cos+sin=2sin+4；又 02 4+434 ；

27、 当+4=4，即=0时，有x+y的最小值是1； 当+4=2，即=4时，有x+y的最大值是2；二、将复合函数与原函数混淆；例题2 知fx+1x=x2+1x2+1x，求fx的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代.解：设x+1x=t；则有x=1t-1，且(t1)； fx+1x=x2+1x2+1x ft=1t-12+11t-12+11t-1 ft=t-12+1+t-1 ft=t2-t+1故，函数的解析式为fx=x2-x+1，x1.总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是ft=t2-t

28、+1含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范围变成x1.还有就是已知复合函数的定义域求原函数的定义域或者是已知原函数的定义域求复合函数的定义域等类型的题目都是很容易出错的.三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3 已知：xR*，求y=x+4x+1x+4x的最小值.错解：令t=x+4x， xR*， t>0，则有y=t+1t 2， ymin=2；当 t=1t ，即t2=1，t>0时，t=1； 将t=1代入t=x+4x=1时，此方程无解.故等号不成立即y没有最小值.分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：令t=x+4x，

29、xR*， x+4x4， t4； y=t+1tt4， t2-ty+1=0t4；故解得：t=y±-4+y22，y±-4+y224；解得：y174 ymin=174 因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广. 6. 结论数学方法是数学思想的外在

30、表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题

31、能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我

32、还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深 入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献1卢春松. 浅析换元法在初中数学解题中的应用J. 数理化学习(初版),2014,10:72+74.2陈正学. 换元法在初中数学解题中的运用J. 雅安教育学