计算方法---数学与计算机连接的桥梁

1、 计算方法-数学与计算机连接的桥梁一、课程简介：本课程是理工科本科、研究生许多专业必修的一门专业基础课需在掌握高等数学、线性代数和常微分方程的基础知识之上学习本课程在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学和工程领域而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变得非常重要了，“数值计算方法”就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程通过这门课程的教学，使学生掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析，提高同学们应用数学知识解决实际

2、问题的能力二、课程主要内容包括：误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法三、课程重点难点：1、 绝对误差限、相对误差限、有效数字2、 基函数、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、截断误差3、 曲线拟合的最小二乘法（最小二乘法则、法方程组）4、 插值型数值积分（公式、积分系数）a) N-C求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、截断误差）b) 复合N-C公式（复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差）c) 龙贝格算法的计算公式5、 非线性方程求根的

3、迭代法收敛性定理牛顿切线法、下山法、正割法（迭代公式、收敛阶）6、 高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解线性方程组Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩阵、收敛的充要条件、充分条件）矩阵的范数、谱半径、条件数、病态方程组7、 欧拉方法（欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式）四、课程的实际应用计算方法主要介绍了两种数值计算方法即：数值逼近与数值代数。前面几章讲的关于插值和拟合是属于数值逼近，而后面几章则介绍了非线性方程、解线性方程组、以及最后一章的常微分方程则属于数值代数的部分。不管是哪一种方法在实际生活中的应用都是很广泛的，下面就以最小二乘拟合方法为例说明其在实际的应用。

4、(一) 曲线拟合就是拟合测量数据曲线。所选择的曲线有时通过数据点，但在其他点上，曲线接近它们而不必通过它们，在大多数情况下，选择曲线使得数据点的平方误差和最小。这种选择就是最小二乘曲线拟合。下面介绍一下最小二乘法拟合的基本原理。设已知 个数据点 )(i=0，1， 一1)，求(m一1) 次最小二乘拟合多项式：其中设拟合多项式为各正交多项式：的线性组合：则继续往向下推导得：继续推导最后可得最后可得一般形式的m一1次多项式：即为最小二乘拟合多项式其拟合精度由下式来评定：应用实例：某建筑物176 d水平位移测量数据如下表所示，在程序编制过程中，为了防止运算溢出，用来代替，其中，。此时，拟合多项式的形式

5、为：运用最小二乘多项式拟合时，拟合多项式的次数越高，其拟合精度未必越高 。以拟合最高次数l9次为例，拟合系数如表2，拟合的精度评定见表3。根据水平位移的观测数据，实现了累计观测时间与水平位移的曲线拟合，在有限的测量数据条件下，表述了时间与该建筑物水平位移之间的函数关系。曲线拟合的最小二乘法在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛，提高了数据处理的效率和精确度，最小二乘曲线拟合实现方法简明、适用，可应用于类似的测量数据处理和实验研究。(二) 水流量是水文特征值的一个重要指标，而水文特征值对于水资源的合理利用，防洪以及抗旱具有指导性的作用，因此赣江水流量估计对于湘江流域的社会经济和人民生活

6、具有重大的影响。如根据实际测量得到赣江某处河宽700m，其横截面不同位置某一时刻的水深如表1所示。若此刻赣江的流速为0.5m/s，试估计赣江此刻的流量。要计算赣江水流量就需要知道其横截面面积，如果知道此处江的水深曲线函数，则其横截面面积为 。但是在实际中是不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的横截面面积的近似值。x050100150200250300350400450500550600650700h(x)4.25.95.85.24.55.755.54.85.94.15.14.65.7,4.7与上述问题类似的如计算不规则平面的面积，矿藏的储量等可以通过数值积分的方法解决。五：总结 通过计算方法课程的学习其实用性非常大。如拉格朗日和牛顿插值法，最小二乘拟合法等算法。因为在我们现实生活中，需要通过已有的数据来发掘事物本身的内在规律，或者模拟出相应的数学模型来解决。所以这就需要应用计算方法课程的相关知识来完成。可以说计算