等价关系学习指导

1、 等价关系学习指导 学习目标 通过这部分内容的学习，要理解等价关系的概念，了解商集的概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关例题的处理方法。概念理解关于等价关系 等价关系是集合上的一种常见的关系，研究等价关系就是为了将集合中的元素划分成等价类，得到相对于等价关系而言的商集. 等价关系是通过关系的反身性、对称性和传递性等几个特殊性质定义的. 因此，我们在学习本节内容时,首先应该了解关系的反身性、对称性、反对称性和传递性等概念，理解等价关系的概念，了解商集的概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。bc图1 1a 1一个关系R在某一集合X上是否是反身的、对称的、反对称的和传递的，

2、一般可以用定义判定，也可以用关系图来判定. (1)如果恒同关系I(X)R，即对于xX 有xRx, 则称R为反身的. 若关系R是反身的，则它的关系图的每个顶点都有自回路. 例如，集合A=a , b , c上的二元关系R =(a , a)，(a , b)，(b , b)，(b , c)，(c , c)是反身的，它的关abc图1-2系图如图1-1所示 . (2)如果关系R =，即对x,yX，若xRy,有yRx，则称R为对称的. 若关系R是对称的，则它的关系图中任意两个顶点之间或者没有有向弧，或者互有有向弧. 例如，集合A=a , b , c上的二元关系R = (a , a)，(a , b)，(b ,

3、 a)，(b , c)，(c , b)是对称的，它的关系图如图1-2所示.acb图1 3 (3)如果关系R=，即对于任意的x,yX，xRy与yRx不能同时成立，则称R为反对称的. 若关系R是反对称的，则它的关系图中任意两个顶点之间或者没有有向弧，或者仅有一条有向弧. 例如, 集合A=a , b , c上的二元关系R = (a , b)，(a , c)，(b , c)是反对称的，它的关系图如图1-3所示.abc图1 4 (4)如果关系RRR，即对x，y，zX，若xRy,yRz,有xRz,则称R为传递的. 若关系R是传递的，则它的关系图中，若结点a有有向弧指向b，同时结点b又有有向弧指向c，则结点

4、a 一定有有向弧指向c. 例如, 集合A=a , b , c上的二元关系R = (a , a)，(a , b)，(a , c)，(b , c)是传递的，它的关系图如图1-4所示. 特别地，若结点a有有向弧指向b，同时结点b 又有有向弧指向a，则结点a和b上各有一条自回路. 2如果关系R同时具有反身的、对称的、传递的这三个特性时，则关系R就是等价关系. 等价关系的关系图的特征为 (1) 每个结点都有自回路； (2) 两个结点a，b之间若有从a指向b的弧，就有从b指向a的弧； (3) 若有从结点a指向b的弧，且有从b指向c的弧，就有从a指向c的弧. 例如，集合A=1 , 2 , 3 , 4 , 5

5、 , 6 , 7 , 8上的“模3同余”关系R = (a , b)ï ab(mod3)且a，bA，即R = (1 , 1)，(1 , 4)，(1 , 7)，(2 , 2)，(2 , 5)，(2 , 8)，(3 , 3)，(3 , 6)，(4 , 1)，(4 , 4)，(4 , 7)，(5 , 2)，(5 , 5)，(5 , 8)，(6 , 3)，(6 , 6)，(7 , 1)，(7 , 4)，(7 , 7)，(8 , 2)，(8 , 5)，(8 , 8)，由R的关系图（图1-5）可得，R是反身的、对称的、传递的，所以R 是等价关系.17428536图1 5 3在图1-5中，集合A的元

6、素被分隔成三组，即1 4 7，2 5 8，3 6，每组中任意两个元素之间都有关系，而不同组的元素之间都没有关系. 每一组中的所有点构成一个等价类，即集合A=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8上的“模3同余”关系R = (a , b)ï ab(mod3)且a，bA有三个不同的等价类：1 = 4 = 7 = 1 , 4 , 72 = 5 = 8 = 2 , 5 , 83 = 6 = 3 , 6 将上例中“模3同余”的关系推广，可以获得整数集合Z上的“模n同余”关系，即R = (a , b)ï ab(mod n )且a，b Z 可以根据任何整数除以n（n为

7、正整数）所得余数进行分类，构成n个等价类，记作i = nz + i ïzZ ，i = 0，1，n-1即0 = ，-2 n，- n，0，n，2 n，；1 = ，-2 n+1，- n+1，1，n+1，2 n+1，；n-1 = ，- n-1，-1， n-1，2n-1，3 n-1，； 由此可得，整数集合Z上的“模n同余”关系R = (a , b)ï ab(mod n)且a，bZ，的商集为：Z /R = 0R ，1R ，2R，n-1 典型例题 例1 设R1和R2是集合A上的任意关系，试证明或用反例推翻下列论断： （1）若R1和R2都是反身的，则也是反身的； （2）若R1和R2都是对称

8、的，则也是对称的； （3）若R1和R2都是传递的，则也是传递的. 思路 做这类题目时，必须深入理解相关的概念，这样才能做出正确的判断；在此基础上进行证明或举出反例. 证 （1）因为对任意，若R1和R2都是A上的反身关系，则 (a, a)，(a, a)所以，(a, a)，即也是反身的. 故该论断正确. （2）例如，设A=a, b, c，当R1=(a, b), (b, a), (c, c)，R2=(b, c), (c, b)，R1与R2都是对称的，但是=(a, c), (c, b)已不是对称的，故该论断不正确. （3）例如，设集合A=a, b, c，当R1=(a, b), (b, c), (a,

9、c)，R2=(b, c), (c, a), (b, a)，R1和R2都是传递的. 但是，由= (a, a), (a, c), (b, a) 得 (b, a)，(a, c) ，且(b, c)，故不是传递的，即该论断不正确. 例2 设集合A=a, b, c, d, e，A上的关于等价关系R的等价类为： a = a, b, c， d = d, e求：（1）等价关系R； （2）画出关系图. 思路 由等价关系的定义可知，等价关系R同时是反身的、对称的和传递的. 又由定义3.2知道，等价类中的任意两个元素都有关系. 因此，写A上的等价关系R的步骤为： 写出A上的恒同关系IA，使R是反身的； 分别写出等价类

10、a、d中各元素两两之间的关系，使R具有对称性和传递性； 求、结果的并集，得到所求的等价关系. 解 （1）因为等价关系R是反身的，所以，IA=(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e). 又因为a，b，c在同一个等价类中，所以(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 同样，因为d，e在同一个类中，所以(d, e), (e, d) 由此可得R = IA(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (d, e), (e, d) （2）R的关系图如图1-6所示.abc图1-6de 例3 设R为集合A中的对称的、传递的关