有限元复习题分析

1、有限元法复习提纲1 .弹性力学平面应力问题有什么几何特征、载荷特征和应力特征？答：（1）几何特征：等厚度的薄板；（2）载荷特征：体力作用于体内，面力和约束作用于板边，三者均平行于板中面，沿板厚不变；（3）应力特征：由于外力、约束沿z向不变，应力中只有平面应力ox,oy,Txy存在且仅为（x,y）函数。2 .简要叙述平面应力问题有限元位移法分析步骤，并给出主要公式。答:|人单元和节点划分，形成基本数据2、计算单元刚度矩阵法产*F0印43 .计算整体刚度矩阵幻=Z西产旦4 .计算结点载荷尸=£+/5 .引入支承条件征*=区明6,解方程求位移处=g尸*7 .计算单元的应力仃产=0产回产&q

2、uot;口3 .单元刚度矩阵中任意一个元素Krs的物理意义是什么？答：krs为第s个位移分量为单位1,其余位移为零时需要在施加的第r个节点力，也即第s结点的位移对第r结点力的贡献。4 .有限元解弹性力学问题要保证解答收敛性，单元位移多项式满足什么条件？答：包含刚体平移和转动；包含常应变；可证满足相邻单元公共边界上的连续性条件。5 .试说明三角形单元、四节点四边形单元的解答是收敛的。答：三角形单元u=a1+a2x+a3y四边形单元u=%+a2x+口3y+4xyv=a4a5xa6yv=5+qwx：；y：8xy三角形单元、四节点四边形单元的位移函数中包含了常数项和一次项，所以包含了刚体位移和常应变；

3、当考虑相邻单元公共边界时，两种单元类型的相邻单元公共边界共用两个节点，而此时的位移函数一个自变量为常数，位移函数经退化为两个未知系数，即f=Bx+C或f=By+C的形式，刚好可以由公共的两个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。6 .单元刚度方程k*=F反映的物理意义是什么？推导方法有哪些？答：反映了单元节点位移与节点力之间的关系（结点平衡法，虚位移原理，最小势能原理）7 .有限元位移法分析弹性力学平面问题时如果采用四边形八结点曲边单元，选取的位移函数多项式包括那些项（用直角坐标x,y表示）？答：主要包含常数项C,线性项x,y,二次项x2,xy,y2,三次项x2y,xy2。第1页共17页有限元

4、法复习提纲8 .简要叙述平面刚架有限元分析步骤，给出主要公式1,单元、结点编码2、数据准备3、单元刚度矩阵（局部）%单元刚度矩阵（整体）二丁国m5、计算整体刚度矩阵£一三区产6、形成节点荷载P,引入边界条件I植7、解方程，求位移亦工吗8、求杆端力内力、应力 W*=T叫研法:力=向“府”+图产=比产门+炳严9.根据平面刚架单元刚度矩阵元素的物理意义推导具体表示式。答：Krs为第s个位移分量为单位1,其余位移为零时需要在施加的第r个节点力，单元位移分量和单元节点力分量为 d =ui m ei Uj Vj 以“ = 1,其余位移分量为零时，即考虑第二 个位移分量对单元六个节点力分量的贡献，

5、 k12=k42=0,根据材料力学的悬臂梁挠度公式，“T F(e) =Xi Y mi Xj Yj mjTk22kl2有 Vi = 1 =k22l3k32l23EI 2EI0i =0 = _亡 + 辿i3EI EI由此算出k2212EI6EI同理得到面l3"EA12EIl36EI76EIF4EIl再由平衡条件得出k5212EI6EI_EA12EI丁6EIF6EIF2EIlEAlEAl12EIl36EIl36EIF2EIl12EI 丁_6EIF6EI了4EIl第3页共i7页10 .六面体八结点空间单元位移函数多项式包含那些项？满足收敛条件吗？,即答：包含1,x,y,z,xy,xz,yz,

6、xyz八项，满足收敛条件：包含了常数项和一次项所以包含了刚体位移和常应变，而考虑相邻单元公共面时，位移函数将退化为四个未知系数f=By+Cz+Dyz+E,刚好可以由公共面的四个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。11 .一维杆单元如图，设位移模式为u(x)=ai+o(2x,试推导出单元刚度矩阵k。设单U1Fi元长度为l,横截面积为A,材料弹性模量为E。u2.F2解：(i)拉压杆的应变为常数，故位移函数为一次函数u(x)=:i：2x,x0,le由两个节点位移条件U(0)=U1，U(l)=u2求得系数：,1二E,二2=(-ulU2)/l所以位移函数为：u (x) =U(-Ui U2)x,x 0,

7、l,U(x)= i黑,xe0J(2加元应变:u_；又=(-UiU2)/l=Bde二x(3严元应力：E de=Cdef,E；x=E；x=EBde=-l(4)形函数、几何矩阵、应力矩阵分别为:,】 x xINi N2 = 1,E .C=7 T(5 由材力：& = Fi l /EA = Fzl / EA,l-U2 - Ui,I.Fi F2 T =k(e)'.Ui 口2/解得12.试采用平面桁架的有限元法，计算图示桁架A点的位移和各杆的轴力。已知EA=2Mi05kN。解：(1)单元划分及节点编号如图所示，局部坐标由小节点号指向大节点号;有限元法复习提纲(2)局部坐标系中的单元刚度矩阵计

8、算如下:一r.户EA1-11,EA1-1k=Ik=|(l1=5m),k=|(l2=4m)I111一'1211(3)坐标转换矩阵T:T=cos：一 00cos 二0since(4)整体坐标系中的单元刚度矩阵计算如下：cos2 :cos： sin :2-cos :-cos 二 sin ;t EAk =T kTcosa sina2-cos a-cosa sin a _1. 2 sin a-cosa sin a-sin2a-cos 口 sina2cos 口cosasin a.2 一2J-sin acosa sinasinCt第7页共17页= 1,sinot =0,单元 cosa4一3、，一又单

9、兀cosot=,sinot=一，单兀cosot5525.6-19.20-19.214.400050000=1 M103000k34 J000-25.619.2-5019.2-14.400000000000-25.619,2 0019.2-14.400-500000025.619.225.6-19.219.214.4-19.214.425.6-19.2101.20-19.214.4028,8 _所以整体坐标系中各单元刚度矩阵为:16-12-1612_10-1011612-16-1213-12912-9r250000rf3129-12-9=1,6X10,Ikf=0.510,1k=1.610-161

10、216-12-1010-16-12161212-9-12910000-1-12-9129(5)根据单元的局部码和整体码的对应关系形成整体刚度矩阵:对应关系(1)(2)i123j444028.8(6)引入边界条件并得到修正刚度矩阵:u1=v1=u2=v2=u3=v3=0,将1-6行和列元素置零得修正刚度矩阵-3101.2K=110-0(7)利用修正刚度方程求解节点位移:* U4*3 101.2K H>=P ，即1x10 I-V40一00 1?410解得山=0, V4 =3,510-28.8 V41(8)求解轴力:由d=Td，F=kFd可得_ 一F1r,小EA 1ik r T d = 1l1

11、 _Tcos- sin:01 IL 00 cos ;于是F44 4/5 -3/54 104-4/5 3/5_ _Fi 0.84”84-4/54/53/5-3/5-53.5 105_F2,同理可得F2u1 x0”y ,014卜0.84U4V4- =0.841受压13.图示平面刚架，设整体坐标系中的单元刚度矩阵为国Ik.:风% kjj(e)(1)采用子块叠加的方法在形式上给出结构的整体刚度矩阵K解：表1单元的局部码和整体码的对应关系单元号方向i12345j24466表2子块兀素列表单田kiikijkjikjj%k21k22匹k24k42k44k33(3)ri便k34rik43k44(3)k44(4

12、)k46(4)k64(4)k66(4)k55(5)k56(5)k65(5)k66(5)整体刚度矩阵为:K=一k11k120000k21k22+及20修0000小33(3)kJ3000HI限产M +出44(3) +M)0NF)00005%6产.000k64(4)曝产总产+*(5)(2)试说明为了引入边界支承，如何修改整体刚度矩阵和载荷向量？解：Us=0s将K中第3s-2行和3s-2列的对角线元素改为1,其元素改为0;将载荷列矢量P中的第s个元素改为0.Vs=0按上述方法对K的3s-1行和列进行彳改，对P的第3s-1行修改按上述方法对K的3s行和列进行修改，对P的第3s进行修改(3)图中整体结点编

13、号是否为最佳编法？解：回答是否定的。可以按以下原则为结点编号：因边角结点所在的单元数少，可以通过比较结点所属的单元数组的大小，使结点所属的单元数组最小的结点编号为0,依次进行编号。14.图4示为梁单元，设挠度为三次函数,、23w(x)二-112X，.I3X，.I3X端点条件为w(0)=Wi,w(l)=Wi,1(0)=皿-iJ(l)=皿-jdxxHdxXT(1)试确定系数%(i=1,2,3,4),并将挠度W转化为无量纲坐标Xxx/l的形式。解：将端点条件代入到挠度方程中，得%=wi%+l%+l2£3+l%4=Wj%+2l63+3l2u4二311411AjJ*Tjj*Tj0010001&

14、#171;i-出一Wi13=Wi%=a1ll2l3%wj口33=l(Hi+ej)+2(wi-wj)/l3:012l3l3也一5%=(26i+d)3(w-wj)/12解得系数为:=工:将系数代入挠曲线方程并令x即:w=HWi Hi% H(0)Wj H【1) =HdHiHiH(0)h(1)-1 - 2 -3l 3 l=lU -2l2 3-2 2 3l 3l=2 -l23(2)采用虚位移原理推导单元刚度矩阵。(e)解：不考虑轴向变形的梁单元，根据插值函数，有-yj 暇d,dx dxa=E-yEjd-Hid根据虚位移原理，有* T* Tl * Td F = m8QdxdA=j01A8 QdxdAV令：

15、k=EI 1刚度系数：krs=求得、* T :d2H Td2HT” 后 一2-4y dd xdA* T EI =dTy2HidNdNsl3 0 d d其中2Hdt d. - , * . - 、 一.由虚位移d 的任意性，可得Ni =Hi，N2 =H(1),N3 =H(0)F =kdk谭126l-12：6l6l4l2-6l2l2-12-6l12-6l6l 1 2l2-6l4l2有限元法复习提纲15用平面刚架的有限元位移法求解下列刚架的结点位移和内力，并画出内力图2kN5kN.m6kN -：-8kN(2)4.8kN/m(1)2.5m2.5mE=3.0xl0-kX/m; .4= 0.5m25m(1)

16、利用插值函数，根据虚位移原理推得局部坐标系中的单元刚度矩阵一EA00-0 l012EI6EI 一12EI6EIEAl0面6EI了4EI6EI了2EIEATEAT12EI6EI6EI 丁2EI12EIl36EI 一7"6EI一 l24EI30000-30000012300-12300301000-3050二30000300000-12-30012-3030500-30100(2)，k(1)=k(2)坐标转换矩阵为:01TtTt一00tK =10第8页共17页100(3)整体坐标系中的单元刚度矩阵:(4)整体刚度矩阵的集成对应关系(1)(2)i12j44整体位置kiikijkjikjj(

17、1)k11k14k41k44(2)k22k24k42k4430000-300001-12030-120301012300-1230030000-30000301000-3050,k(2)=104300100-300504000030000-120-30120-300-12-30012-300-3000030001030500-3010020050-300100k所以整体刚度矩阵为3120-30-30000-120301312-300-12-300-30002000305030050300000001230000对称1000001203030004有限元法复习提纲形成荷载向量(节点荷载和等效结节

18、点荷载)伉(1)=0,12,10,0,12,.10T月(2)=0,4,5,0,4,-5TPo(1)=TTTF。=0,-12,-10,0,-12,10T国。严=-口TF0=4,0,-5,4,0,5TgP0i(2)爪+PM】P0(1)=0>,8严=<p°j>,B40+p0j仆0i(11,。(2),|P0i(1)+0jP0=4,-12,-5,0,-12,-10,4,0,-5TP=HP0=10,-10,-10,0,-12,10,4,0,-5T(6)引入边界条件得到修正刚度方程K*d=P*3120-300000001U110312-30000000V1-10200000000

19、q-1022.700211100000U20解得位移:w>=-2.7101>x10m%(0J-5.1485104对称1010000004V2a00101001U3V3I>II000第14页共17页(7)单元的杆端力:11.100610.1302Li。)4.0385IFkN-11.100613.8698-13.83738.13032.89953.5358613055.1005-9.0384kN10.1302剪力图(kN)轴力图(kN)2kN5kN.6kN一4.8kN/mTTT(1)m5N2.18kN(2).2.5m5m16.图5所示为一等腰直角三角形单元，设弹性模量为E=1.0

20、,波松比N=0,试求:(1)、形函数矩阵N(2)、几何矩阵B解：三角形单元的节点坐标、节点位移、结点荷载及内部位移函数为i(0,a)j(0,0)m(a,0)d=UiViUjVjUmVmTF=XiYXjYjXmYmTu=a1a2xa3yv=a4a5xa6y根据三角形单元内部位移函数和结点位移条件，求解下列线性方程组1xy1Xjyja2=1Xmym1ujIumJVi由线性方程组的求解方法分母D=XiXjXjyjaXmymiJ-=vjVmJYiyj=a2(实际上=2二)，解出系数向量，最后1u 二2.：1v =2 ;bmX Cmy Vm;将系数匕1a2a3a4asaj0代到单元内部位移函数(u,x)

21、y(vx邦甦理可得1dhxcyuajbjXCjyUjambmXjyUm)aibiXCyViajbjXCjyVjam其中，合并后的系数aibcCjCm对应值刚好是.:u,X:vyyxy几何矩阵I.B1-12a一00LaXiyiXjyjXmym的代数余子式y四十空药方X-b0-a0-a-a0l0abj0Cj一00J'j-10-1bk0cmbm0101由虚位移原理推得d*(e)TF=；*(e)T；(e)tdxdyA=d*(e)TBTDBdtdxdyA单元刚度矩阵k(e)=BTDBt：17 .图6所示为一平面区域的三角形网格划分，试进行单元和节点编号，使整体刚度矩阵的带宽最小，计算出半带宽(半

22、带宽=(最大结点码的差值-1)父2),并标出整体刚度矩阵中的零元素。非零元素为解：节点编码如图所示，半带宽=(10-6+1)父2=10,11111111111111111111111111111111111111111111114y uy( , ) = Ni(,可iW且有-1-Ml, -1<n <10 Ni(£是(U的已知函数。试给出用曲线坐标(U 诙示18 .四边形四节点等参单元的坐标变换为4x=x(-,n)=ZNi(-,n)x,id其中(x,y内表示结构实际尺寸和几何形状的直角坐标系；(M1内无量纲曲线坐标,的单元的实际面积微元dA=dxdy1 1.解：N1(1-)(

23、1)41N2(1)(1-)41.N3(1)(1)41.N2(1-)(1)4所以x=£Nixi,y=£Niyi=x/aj=y/b用曲线坐标广J)表示的单元的实际面积微元dA=dxdy应该放在两个坐标系中求解。19.图7示平板，厚度为0.1m,几何尺寸、边界约束、载荷如图所示，忽略体力作用试求出结构的节点载荷向量，并给出位移边界条件。1m2c0 z=2kN/ my2m 2m解:(1)节点3(2)节点 6F6 y2 1111F3V = ( 1 22 1) =y 3 210 210/ 111.121,1-(1 2 1 2 + 21 ) 210 3 210 3 210(3)节点9F9

24、y1121110112(4)节点 8F8 y,1 ,1 C、=Y 1 2)=210(5)节点8F8y-(-K1=-21010120所以节点的荷载向量3)= 0 0 0 0 0 -1一6c 1 c00201 0 -11012位移边界条件为 Ui = V1 = u2 = v2 = u3 = v3 = 020.弹性力学平面问题的区域为直角三角形(如图8所示)，铅垂边上作用线性分布的水平力q(y)=q°(1-y/l),其中l为边长。若将区域或分为图示的4个单元，试计算出等效结点载荷分量F1x0,F1y0,F2x0,F2y0,F3X0,F3y0,F4X0,F4X0；给出结点位移的边界条件23(

25、1)节点1F1X011 l q。+ q0|t-一 t =3 2 2 224f =(21 1q0 +11_!,曳+_!_q£)t=q01t2x0322 2 322 2 22 24! /2!/2!/2(3)下点4 F：40=(2 1 -也x 3 2 2 2上11. 5%代+ ) t =2 2 224x其他分量为零F1y0 = F2y0 = Fsx0 =二 F3y0 = F4y0 = 0(2)节点2位移边界条件为u4 = v4 = u5 = v5 = u6 = v6 = 021.图9所示为一高深悬臂梁，右端均布面内p作用，材料弹性模量为E,泊松比N=0,梁的厚度为to假设将梁划分为图示两个

26、单元。根据弹性力学平面问题的有有限元法复习提纲IL0第16页共17页限元位移法求解节点的位移。在求解过程中要求给出下列结果:(1)、单元刚度矩阵k，修；(2)、整体刚度矩阵K;、等效节点载荷Po(4)、位移边界条件;(5)、最终求解方程解：形函数系数系数单元1i(2,1),单元1几何矩阵B几何矩阵BK,*=Pajbjcj(6)、节点位移Ui,vhU2,V2y>X2对应值刚好是Xyixjyj的代数余子式j(0,1),m(0,0);单元2i(0,0),j(2,0),m(2,1);三角形面积A=112/：-b0F1-0021aajam1!2001-10单兀2bbjbm-1101ji02-21I

27、、*G&%:0-22J0bj0bk01j10-10001c0q0cm_1000202120cj12：0Cibj0Cjbj0cjbjbk0Cmbm01cmbm-10'.000-110-20-21弹性矩阵按平面应力问题取1-J20I10010=E0101N000.5_21k(1)=BTId|bt=k=B(2)tIdb一10T0000020-2012-1-20|10E010000.502-100-2一20-20001012-1-20226-2400-1-292-80-2-4240'o00-808一旦8有限元法复习提纲-t/2I 0H/2一第18页共17页12i14j32m41

28、kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmmE1k11k13k14k31k33k34k41k43k44E2k44k42k41k24k22k21k14k12k11(2)根据以上表格集成整体刚度矩阵(3)等效节点荷载计算-4-2-8-1-2-4-2-2-2-2P0=小吓P0td(4)位移边界条件u3=v3=u4=v4=0-8-2-1-2-1-4-2-8-2-4-1-8-Ni0101010Ni00Nj0100t0btds=-tds=-0Nj1-1J0121Nm0000Nm一i11I1110修正刚度矩阵：将K中的58行和列置零-K*d=P*l,即一60-421090-8-406-2-8-29_U1产=|U