微分方程109517

1、第二节 一阶微分方程教学目的：掌握一阶微分方程的概念；熟练掌握常见一阶微分方程的形式以及基本解法；能正确求出所给方程的通解与特解.重点：能正确求解下列方程：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程.难点：齐次微分方程与一阶线性非齐次微分方程的求解.教学方法：启发式讲授教学过程：一阶微分方程的常见形式： 或 ，有时也写为一、可分离变量的微分方程1分离变量的微分方程：形如 或的一阶微分方程.2可分离变量方程的隐式通解：方程必存在隐式通解. 例1 求微分方程的通解.解：(1) 分离变量 ,(2) 两端积分 为原方程的通解 (为任意常数) .(2) 解分离变量得 ,两边积分得 即 (为任意

2、常数).(3) 解分离变量得 ,两边积分得 , 即 .(4) 解分离变量得 ,两边积分得 ,即 (为任意非负常数).(5) .解 分离变量得 ，两边积分得 即 （其中为常数）.例2 （指数增长与指数衰减方程）.提示：（其中为任意常数）为指数增长的；指数衰减的.例3 一曲线通过点 ，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求此曲线方程.解 设曲线方程为 ，曲线上任一点的切线方程为，依题意 点适合切线方程，从而有为曲线满足的微分方程，且有初始条件.即所求曲线是初始问题 解之得 为所求曲线方程.例4 解下列方程：(1) 解分离变量得 ,两边积分得, 即 (为常数).(2) 解分离变量得 ,两边积分

3、得 (为任意常数).(3) 解分离变量得 ,两边积分得 , 即 .(4) 解分离变量得 ,两边积分得 ,即.由,得,所以微分方程的特解是 .（4）.（5）.（6）满足的特解.提示：原方程可化为由得，故通解为 例5(87.6) 某商品的需求量对价格的弹性,市场对该商品的最大需求量为1(万件),求需求函数.解 由弹性公式得,即,两边积分得,即,再由可得,故所求函数为.例6 (05.4) 微分方程满足初始条件的特解为 .巧解 由知,故微分方程的通解为,由知,故所求特解为.例7（07、4、10分）设函数f(x)具有连续的一阶导数, 且满足，求f(x)的表达公式. 【详解1】 即 也即 由题设知，故有

4、，从而 = 将代入上式得c =1，所以 【详解2】 由题设知，故有， 得 两边积分得 于是有 由 得 C =0，所以. 【详解3】 由题设知，故有 由 有 两边积分得 于是 令 代入式得 两边积分得 , 因此 将代入上式得c =1，所以 例6 设可导函数连续，且满足，求.解：因为 所以原方程可化为 将方程两边求对的导数得 ，将方程两边再求对的导数并令 得微分方程 ，分离变量积分得 ，由隐含条件知, 故 . 二、齐次微分方程1齐次方程：形如：的一阶微分方程称为齐次方程.2齐次方程的解法：设有齐次方程 ,解法：(1) 令 即（ 注意 ）, 则 ；(2) 代入原方程得 , 即 ；(3) 两端积分,得

5、上述方程通解 , 其中 ；(4) 再将代入原方程得通解 .例1 解方程 解原方程可化为 ,令,则.原方程变为 ,有即, 也即 ，将代入得 原方程的解为 .例2 求解微分方程 .解：(1) 令, 代入方程 整理得 .(2) 两端积分得 (3)将代入上式得到原方程的通解 .例3 (91.5)(1) 求微分方程满足条件的特解.解 原方程可以化为 ,令,有,代入上式,得,将代入上式,得通解.将代入,得,故满足条件的特解是.（2）(07.3.4)微分方程满足的特解为 .【答案】应填 【详解】作变量代换，则，代入原方程得 ，即 ，积分由, 故所求特解为 .解法二:贝努利方程求解原方程,由凑微分法得 ,再积

6、分得 ,故所求特解为 .例4 (96.6) 求微分方程的通解.解 令,则.当时,原方程化为 （左边积分要用换元法令则）其通解为.将代入得原方程的通解 .当时,令,于是,且,其通解为 ,故通解为 .综合上述情况得原方程的通解为.例5 (98.7) 设函数在上连续,若由曲线,直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 的解.解 由于,两边对求导,得即 ,令,则.当时,方程变为,解之得,所以方程有解,为任意常数,由,知,故所求解为 .例6 解下列微分方程（1）解：原方程可化为 ，将代入通解得,所以所求特解为 .（2）.解 原方程可化为，将回

7、代，得原方程的通解为 .例7 已知某产品的总成本由可变成本与固定成本组成，假设可变成本是产量的函数，且关于的变化率为，固定成本为，且可变成本，求总成本函数.解 依题意得 将回代，得原方程的通解为 由 ，所以可变成本为 ，故总成本函数为 .练习：解下列微分方程(1)解原方程可以化为 ,令,则, 原方程变为 ,令,得 , 有,即 , 也即, 原方程的解为 .小结：1.认真审题，弄清所给方程的类型；根据方程类型按照相关解法求解. 2对于齐次方程，作变量替换或；对于一阶线性非齐次方程，要先解对应的齐次方程，对齐次方程通解中常系数再作常数变异找出非齐次的特解，进而写出非齐次方程的通解.非齐次方程解的结构：方程