微分方程讲义与例解

1、 微分方程讲义与例解一常微分方程的基本概念11常微分方程:含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式.12方程1阶:方程中所含未知函数导数的最高阶数.13方程的解及初始条件:设一般的阶方程为,是定义在某区间上的函数,切满足,则称为方程的解.条件:,称为方程,的初始条件.满足初始条件的解称为特解.含有个任意常数的解称为通解.二一阶方程一般的一阶微分方程为或者.21可分离变量的方程:.求解的步骤是(1)分离变量得,(2)两边同时积分.如果令为的某一原函数,为的某一原函数,则为方程的隐式通解.22齐次方程:.求解的步骤是(1) 作变换:令则,两端同时求导得代入原方程得,于是为一分离变量的方程,由21

2、可解,设其通解为.(2) 代回原变量得.23一阶线性方程: (1) 当时,称方程 (2) 为一阶齐线性方程.否则称为一阶非齐线性方程.方程(2)是可分离变量方程,其通解为.而非齐线性方程(1)的通解为.24佰努利方程:,解:以除方程两端,得 ,令,有为一阶线性方程,求解后再把回代即得原方城的通解.25全微分方程:对称式的微分方程,为全微分方程的充分必要条件是.其通解为.例1 设连续函数满足关系式,则.解 ,且.于是,又,知从而.例2 已知函数在任意点处的增量为,且,则.解 或,这是可分离变量的方程,解之得=,由,知,于是,.例3 求方程的通解.解 当有,令代入原方程得,.例4 求方程的通解.解

3、 令,代入原方程得,因此,代回原变量有.例5 求微分方程的通解.解 .例6 设函数具有一阶连续导数,且,若曲线积分与路径无关,则的表达式为( ).(A) .(B).(C).(D).解 由曲线积分与路径无关,因此有,即.解之得,由于,因此,所以,选(B).例7 若是的一个特解,则该方程满足初始条件的特解为( ).(A).(B).(C).(D).解 ,由于有一特解,因此知,且,所以有,原方程为,其通解为,由得,因此,选(D).例8 求微分方程的通解.解 ,因此.例9 求的通解.解 原方程为,令,得.解之,于是.例10 求解.解 将原方程两端同乘变形为,于是有,令,有为一阶线性方程,可解之.例11已

4、知函数在上可导,且满足等式,求的表达式.解 由的可导,由上式知可导,故二阶可导,对上式两端同时对求导得,解之得.由于,故.例12 的通解.解 由,因此,方程是全微分方程,存在使,又,故为其通解.三、可降阶的高阶方程31 解,.32 ,方程中不显含变量.解 令则,于是将原方程降为一阶方程为,此方程通解为,即,因此.33 ,方程中不显含自变量.解 令把看作的函数,而又是的函数,从而是的复合函数,于是有.因此得到一阶方程为,解此一阶方程得通解为,则,这是可分离变量方程,因此可求解.例1 求的通解.解 方程中不含变量,因此令,于是,即,从而有.例2 求初值问题的解解 令.,或,由知,从而,又由知.例3

5、 求的通解.解 令,于是,即为佰奴里方程,令,四、高阶线性方程, (3)当时,得到, (4)方程(3)称为阶非齐次线性方程,方程(4)为方程(3)相应的阶齐次线性方程.定理1(解的叠加性)阶齐线性方程(4)的任意个解,的线性组合:仍是(4)的解,其中,为任意常数.定理2阶齐线性方程(4)存在个线性无关的解:.于是它的通解为.定理3(3)的一个解加上(4)的一个解是(3)的一个解;(3)的任意两个解之差是(4)的一个解.定理4(3)的通解等于(4)的通解加上(3)的一个特解,即.五、常系数线性方程(以二阶为例)1二阶常系数齐线性方程,其中为实常数.解 其特征方程,因此,特征根有三种情况:(1),

6、两个不同的实根,则其通解为.(2),两个相同的实根(二重根),则其通解为.(3),一对共轭复根,则其通解为.2二阶常系数非齐线性方程.(),其中是的次多项式.解 由定理(4)知仅对其求一特解即可,用代定系数法求一特解.设其特解为:,其中取决于为其特征根的重次:不是特征根,;是单根,;是二重根,.代入确定.(),其中分别是的次多项式.解 设其特解为,其中取决于为特征根的重次:不是特征根时,;为单根时,.分别是两个不同的次多项式.例1 微分方程特解形式.解 由于特征方程,是单特征根,因此,方程的特解形式为.例2 已知,是某二阶线性非齐次方程的三个解,则此微分方程是_.解 ,因此,于是特征方程为()

7、,对应的齐次方程是.设非齐项为,令,将代入方程确定,从而方程为.例3 设是二阶线性齐次微分方程的两个特解,是任意常数,则().() 一定是微分方城通解.() 不可能是通解.() 是方程的解. () 不是方程的解.例4 设是二阶非齐线性方程的三个线性无关的解,是任意常数,则此方程通解是( ).(). . .例5 具有特解,的三阶线性常系数齐次微分方程是( ). . . . .解 ,有,即,于是方程为.例6设是满足的解,则极限( ).不存在.等于.等于.等于.解 由已知得,又,.例7 求的通解.解 特征方程为,.齐方程通解为.所以非齐方程的特解有代入原方程得,因此通解为.例8 求方程的通解.解 为二重根,因此齐方程的通解为,设特解