狭义相对论推导详细计算过程

1、狭义相对论狭义相对论基本原理：1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c，与光源的运动状态无关。假设S系和S系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S系沿S系的x轴正方向以速度v相对于S系作匀速直线运动，x、y、z轴分别与x、y、z轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。洛伦兹变换现假设，x=k(x-vt) ，k是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S系的坐标变换为S系，有x=k(x+vt) ，另有y=y，z=z。将代入：x=kk(x-vt)+vtx=k2*(x-vt)+kvtt=kt+(

2、1-k2)x/kv两原点重合时，有t=t=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S系，x=ct，在S系，x=ct，将两式代入和：ct=k(c-v)t 得 ct=kct-kvt 即t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t 得 ct=kct+kvt两式联立消去t和tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k2ct-k2vt+k2vt-k2v2t/cc2=k2c2-k2v2k=将k代入各式即为洛伦兹变换：x=y=yz=zt=或有x=k(x+vt) x=k(x-vt) =k(1+v/c)x =k(1-v/c)x两式联立，x=k(1-v/c)k(1+v/c)xk=同时的相对性S中取

3、A（x1,y,z,t1）和B（x2,y,z,t2），同时发出一光脉冲信号，即t1= t2，且x1x2。在S中，t= t1- t2=0在S中，t1= t2=，t= t1- t2=，由于x1x2，则S中，t0。即在S系中不同位置同时发生的两个事件，在S系中看来不是同时发生的。亦可说明时间和空间是相互联系的。时间延缓效应（时钟变慢）如中，对于S系同时发生的两事件，在S系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。设S系中的x0处先后在t1和t2发生两事件，则t= t2- t1。在S系中，t= t2- t1=-=t说明在S系中，两事件的时间间隔小于在S系看来的间隔，即在S系看来，S系中的时钟变慢了。（对于确定

4、的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S中观察到的间隔要长一些，便认为是S系中的时钟变慢了。）长度收缩效应（尺缩）S系中放置一沿x轴方向的长杆，设两端点的坐标是x1和x2，则静止长度L=L0= x2- x1，称为固有长度。在S系中要测量长杆的长度，必须同时测出x1和x2，即t1= t2。由x1=和x2=得L0=L= x2- x1=则L=L0L0即在S系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。速度变换法则设一质点在两惯性系中的速度分量为ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)由洛伦兹变换得dx=dy=dydz=

5、dzdt=前三式分别除以第四式得ux=uy= uz=相应地有，ux=uy= uz=狭义相对论动力学质速关系设S系中的x0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A、B两部分，且分裂后mA以速度v沿x轴正方向移动，mB以速度-v沿x轴负方向移动。VBA·mVVSS则在S系看来mA静止，即vA=0。而vB=，则v= -c2/ vB1-。同时质心仍在x0处未移动，有v0= -v。由于动量守恒，（mA+mB）=mA vA+mB vB，而vA=0，则-v= mB vB/（mA+mB）mB /mA=-v/( vB+v)= vB/( vB+v)-1将代入上式mB /mA= = =得mB=，在S系中二

6、者以相同的速度沿相反方向运动，而在S系中，mA静止，可看做静质量（m0）。mB以速率vB运动，可视为运动质量，称相对论质量。则运动物体的质量与其静质量的一般关系即m=相对论动力学基本方程相对论动量p=mv= （p、v均为矢量）物体受力F=dp/dt=d/dt (F、p、v均为矢量)当v<<c时，即为牛顿第二定律，pmv=Ft质能关系由知，F= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt。另有dx=vdt经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中，Ek=对质速方程m=求微分有dm= =将上式与代入式，Ek= = = （dm代入此式） = =mc2+C其中C为积

7、分常量，知v=0时，m=m0,Ek=0，代入求得C= -m0c2。则Ek=mc2- m0c2 = m0c2() 当v<<c时对作泰勒展开，得=1+v2/2c2+3v4/8c4+取前两项有Ek= m0c2（1+ v2/2c2-1）= m0v2/2，即经典力学动能表达式。而式可改写为mc2=Ek+m0c2，m0c2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc2为物体的总能量。将总能量用E表示，写作E=mc2=即相对论质能关系。泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x2/2!+fn(0)xn/n!。对于f(v)= f(v)= =f(v)= +=+f3(v)= +=+f4(v)= +=+此处，f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)v2/2!+ f3(v)v3/3!+ f4(v)v4/4!+ =1+0+v2/2c2+0+3v4/8c4+ =1+v2/2c2+3v4/8c4+能量-动量关系将p=mv=中的v2解出，得v2=，代入质能方程，得E=则E2=p2c2+m02c4即相对论能量-