用均值不等式求最值的方法和技巧

1、用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学 朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数

2、最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： 解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图

3、象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时， 且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（导数法）由得，当时，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法

4、）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是解法二：由，知，则，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、

5、减项（配常数项） 例1 求函数的最小值. 分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即，再用均值不等式. 当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项） 例2 已知，且满足，求的最大值. 分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可

6、逆用均值不等式，即利用来解决. 3、 裂项 例3 已知，求函数的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 当且仅当，即时，取等号. 所以. 4、 取倒数 例4 已知，求函数的最小值. 分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由，得，. 取倒数，得 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 5、 平方 例5 已知且求的最大值. 分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来

7、解决. 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最大值是. 评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6 求函数的最大值. 分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 7、 逆用条件 例7 已知,则的最小值是（ ） . 分析 直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后展开即可解决问题. 评注 若已知 (或其他定值)，要求的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 9、 消元 例9、设为正实数，则的最小值是. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 练习： 1、试填写两个正整数，满足条