幂级数讲稿2011325

1、注意：对于级数，当收敛时，绝对收敛.例 证绝对收敛：令，则收敛收敛故 原级数绝对收敛. §7.5 幂级数一、函数项级数的概念1【定义】设 是定义在区间上的函数,则 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.2收敛域(1) 收敛点 常数项级数 收敛； (3) 收敛域 函数项级数的所有收敛点形成的集合；3和函数 , .若函数项级数在收敛域内每一点都对应于的一个函数值，则称为函数项级数的和函数.4余项 , , . 注: 只有在收敛域上, 才有意义； , .二、幂级数及其收敛半径和收敛域1【定义】形如的函数项级数称为的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 为常数，称为幂级数的系数.当时, 称为的幂

2、级数（也称为标准幂级数）, 其中常数（）称为幂级数的系数.结论：对于级数，作代换可以将一般幂级数化为标准幂级数，例如: , 均为幂级数. 显然: 的收敛域. 和函数 .此结论可当公式使用.2.级数的收敛域把级数的各项取绝对值得正项级数，记 ，则 ；于是由比值判别法知（1）若，即，绝对收敛.(2) 若，即，发散.(3) 若，即，比值法失效，敛散另行判定.（4）若，即，此时对任意，收敛.上述分析显示级数在一个以原点为中心，从到的区间内绝对收敛，区间称为幂级数的收敛区间，为收敛半径.若级数仅在点收敛，则规定，级数的收敛域为例如 级数 由于 ， 级数收敛域为 或 ；独点集.若对任意都收敛，则，级数的收

3、敛域为.当时，要讨论级数在处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：3.【定理7.13】若幂级数系数满足条件 或（为常数或），则 (1) 当时, 则； (2) 当时, 则. （3）当时, 则. 常用公式: ，.例如: 幂级数的收敛半径,时，级数发散，故其敛区与敛域均为.例1 求幂级数的收敛半径与收敛域.解 (1) 级数的通项为 . (2) 当时, 级数为收敛；当时, 级数为发散.故收敛区间（敛区）是，收敛域为（敛域）.例2（1） 求幂级数的收敛半径与收敛域.解: ,故 收敛区间和收敛域均是 .（2） 求幂级数的收敛半径.解: .练习：求幂级数的收敛半径与收敛域.提示：，又时级数发

4、散.收敛域.例3 （1）求幂级数的收敛半径与收敛域.（缺项级数）提示：当时级数收敛；当时级数发散.当 时，原级数是，收敛的交错级数.所以 收敛半径，收敛区间，收敛域.注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数的收敛域.解：由时级数收敛，由由时级数发散. 得 当时，收敛，当时，收敛，所以 收敛域为 .例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）解 令,幂级数变形为,， 当时原级数为收敛，当时，发散，故 原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1）(02.3) 设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为（A）

5、(A) 5； (B) ； (C) ； (D) 答案 ,（2） (92.3) 级数的收敛域为.答 令 对于,由,于是收敛半径,则,即内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.三、幂级数以及和函数的运算性质1.设 的收敛半径分别为1）加减法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,. 其中: 待定, 而由系列表达式,确定.此处, , 但.2.幂级数的和函数在其收敛区间内是连续.3.幂级数的和函数在其收敛区间内可积，且有逐项积分公式 ,.(积分前后的收敛半径不变).例: , .逐项积分时在处无意义.4.幂级数的和函数在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 , .说明：求导与

6、积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变.公式 收敛域为例5 求幂级数的和函数,并求.解：(1) .当时, 级数为收敛；当时, 级数为发散. 故原级数收敛域是.(2) 当时, 有.于是 , 由于且幂级数在其收敛域上连续, 取 代入和函数可得 .（2）求幂级数的和函数，并求级数及级数的和.解 1），所以.当时，发散，当时，发散.所以 级数敛域为.2）设，则为所求和函数.3）令，则有 ，所以.4）令，则有 ，所以.例6 (00.6) 设求的和.解 由,得,令,则其收敛半径,在内,于是 ,令,则,从而 .练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:（1）求幂级数的和函数：(2) (99.3) .因为,令，则有,所以答案为4.(3)解 该级数为,由,知当时幂级数绝对收敛.当时,幂级数收敛;当时,幂级数收敛,所以原幂级数的收敛域为.设,则当时有,所以 .(4)解 该幂级数为,由,知当时幂级数绝对收敛.当时,幂级数发散;当时,幂级数发散,所以原幂级数的收敛区间为.设,则当时,有.小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别. 2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变. 3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取的特值代入和函数即得所求. 4对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间