平面向量的数量积及其应用精品

1、平面向量的数量积及其应用自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_.|a|b|cos _叫做a和b的数量积(或内积)，记作_ a·b|a|b|cos _，其中向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°q180°。C规定：零向量与任一向量的数量积为_0_. 即（2）平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_|b|cos _的乘积.(3) 平面向量数量积的重要性质：如果e是单位向量，则a

2、·ee·a_ |a|cos _；非零向量a，b，ab_a·b0_；当a与b同向时，a·b_|a|b|_；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是_ a·b0_）当a与b反向时，a·b_|a|b|_，a·a_ a2_|a|2_，|a|_；（两个非零向量a与b平行的充要条件是_ a·b±|a|b|_）cos _；|a·b|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律：a·b_ b·a _；(2)分配律：(ab)·c_ a·cb·c _；(3)数乘向量结

3、合律：(a)·b_(a·b)_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·b x1x2y1y (2) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y20 .(3) 设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos _.(4)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），则 _(x2x1，y2y1)_，所以|_.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向

4、量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.a·b0不能推出a0或b0，因为a·b0时，有可能ab.3.一般地，(a·b)c(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c(b·c)a.4.a·ba·c(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120°，

5、而不是60°.自我检测1.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|2， |b|3，则向量a和向量b的数量积a·b_3_.2.在RtABC中，C=90°,AC=4,则·等于 ()A16B8C8D163已知向量a，b满足a·b0，|a|1，|b|2，则|2ab| ()A0B2C4D8B2.4.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_.5.已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_.6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(a·b)c(c·a)b0；|

6、a|b|<|ab|；(b·c)a(a·c)b不与c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.7.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为_解析由题意得， ，又，·0，即·0，化简得y28x(x0)8.若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则·_.解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，这样利用向量关系式，求得，所以·2.题型一平面向量的数量积的运算例1（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(

7、ac)·(bc)0，则|c|的最大值是_. (2)如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则·等于()A.2 B. C. D.解法1基底法:，()(1). 又ADAB，|1.·(1)·.法2定义法设BDa，则BCa，作CEBA交的延长线于E，可知DACACE，在RtABD与RtBEC中， RtABDRtBEC中，,CE，cosDACcosACE.·|·|cosDAC|·| cosACE.法3坐标法变式训练1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|b|1，则(3a)·(ab)_3_.(2)如下

8、图，在中，是边上的高，则的值等于 （ ）A0BC4D【思路点拨】充分利用已知条件的，借助数量积的定义求出【答案】B【解析】因为，是边上的高,.（3）设向量a，b，c满足|a|b|1，a·b，ac，bc60°，则|c|的最大值等于()A2B.C.D1【解析】a·b，且|a|b|1，cosa，b.a，b120°.如图所示，将a，b，c的起点平移至同一点O， 则ac，bc，ACB60°，于是四 点A，O，B，C共圆，即点C在AOB的外接圆上，故当OC为直径时，|c|取最大值由余弦定理，得AB，由正弦定理，得2R2，即|c|的最大值为2.题型二向量的夹

9、角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a与b的夹角； (2)求|ab|； (3)若a，b，求ABC的面积.例2解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos .又0，.(2)可先平方转化为向量的数量积.|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC×4×3×3.变式训练2

10、(1)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角.解(1)(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.(2)由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos 120°3cos 120°，|abc|.设向量abc与向量a的夹角为，则cos ，即150°，故向量abc与向量a的夹角为150°. (3)

11、已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，实数的取值范围为_解析a，b(0，)，a·b>0且a·b不同向即|i|22|j|2>0，<.当a·b同向时，由akb(k>0)得2.<且2.（4）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_解以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，3(5,3a4y

12、)，|3|225(3a4y)2，点P是腰DC上的动点，0ya，因此当ya时，|3|2的最小值为25，|3|的最小值为5.题型三平面向量的垂直问题例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0<<<).(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数) (1)证明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直.(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|=，|akb|.|kab|akb

13、|，2kcos()2kcos().又k0，cos()0.而0<<<，0<<，.变式训练3 (1) 已知平面向量a(，1)，b.证明：ab； 若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t). 证明a·b×1×0，ab. 解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0，又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t) (t0).（2）已知a(c

14、os ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的长度是akb的长度的倍(k>0) 求证：ab与ab垂直；用k表示a·b； 求a·b的最小值以及此时a与b的夹角.点拨：1.非零向量aba·b0x1x2y1y20.2当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异解 由题意得，|a|b|1，(ab)·(ab)a2b20，ab与ab垂直 |kab|2k2a22ka·bb2k22ka·b1，(|akb|)23(1k2)6ka·b.

15、由条件知，k22ka·b13(1k2)6ka·b，从而有，a·b(k>0) 由(2)知a·b(k)，当k时，等号成立，即k±1.k>0，k1.此时cos ，而0，.故a·b的最小值为，此时.（3）设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a与b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求证：ab. 解因为a与b2c垂直，所以a·(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()

16、0.因此tan()2.解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又当时，等号成立，所以|bc|的最大值为4.证明由tan tan 16得即所以ab.（4）如图441所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.解·()·()|2···|2|cos 90°|2cos 45°|2cos 45°|2|20，即ADCE.,（5） 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值解：当A

17、= 90°时，×= 0，2×1 +3×k = 0 k = 当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k = 当C= 90°时，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =题型四向量的数量积在三角函数中的应用例4已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)a·bcos xcos sin xsin cos 2x，|ab

18、|2|cos x|，x，cos x>0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.变式迁移4 （1）已知ABC的面积S， ·3S，且cos B，求cos C.解由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c，则Sbcsin A·bccos A3Sbcsin A >0，A，cos A3sin A.又sin2Acos2A1，sin A，cos A.由题意cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asi

19、n B.cos Ccos(AB).（2）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是ABC的重心，且56sin A·40sin B·35sin C·0.(1)求角B的大小；(2)设m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k>1)，m·n的最大值为5，求实数k的值解：(1)由G是ABC的重心，得0，由正弦定理，可将已知等式转化为整理，得(56a35c)·(40b35c)·0.，不共线，由此，得abc578.不妨设a5，b7，c8，由余弦定理，得cos B.0<B<，B.(2)m·n4ksin

20、 Acos 2A2sin2A4ksin A1，由(1)得B，所以AC，故得A.设sin At(0,1，则m·n2t24kt1，t(0,1令f(t)2t24kt1，则可知当t(0,1，且k>1时，f(t)在(0,1上为增函数，所以，当t1时，m·n取得最大值5.于是有：24k15，解得k，符合题意，所以，k.（3）已知等边三角形ABC的边长为2，A的半径为1，PQ为A的任意一条直径，判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；求的最大值。1一些常见的错误结论：(1)若|a|b|，则ab；(2)若a2b2，则ab；(3)若ab，bc，则ac；(4)若a·b0，

21、则a0或b0；(5)|a·b|a|·|b|；(6)(a·b)ca(b·c)；(7)若a·ba·c，则bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|a|a与b的数量积a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2a与b共线的充要条件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要条件aba·b0abx1x2y1y20向量a与b的夹角cos cos 3.证明直线平行、垂直、线

22、段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=CD，可转化证明22或|.（2）要证两线段ABCD，只要证存在唯一实数0，使等式成立即可（3）要证两线段ABCD，只需证·0.平面向量的数量积及其应用练习一一、选择题1若向量a(3，m)，b(2，1)，a·b0，则实数m的值为 ()AB. C2D61D因为a·b6m0，所以m6.2已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为 ()A6 B3C3D62D由(2a3b)·(ka4b)0得2k120，k6.3.已知ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|

23、3，|b|5，则BAC等于 ()A30°B150°C150°D30°或150°3CSABC|a|b|sinBAC，sinBAC.又a·b<0，BAC为钝角BAC150°.4若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)·b0，则a与b的夹角为 ()A30°B60°C120°D150°4C由(2ab)·b0，得2a·b|b|2.cosa，b.a，b0°，180°，a，b120°.5.设向量a，b满足|a|b|1，a·

24、b，则|a2b|等于 ()A. B. C. D.6.已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B. C. D.7.在ABC中，AB3，AC2，BC，则·等于 ()A. B. C. D.8.若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B.1C. D.29.已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是 ()A.4 B.4 C.2 D.210.已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|kabc|&

25、gt;1，则实数k的取值范围是 ()A.(，0) B.(2，)C.(，0)(2，) D.(0,2)二、填空题11设a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若a·b，则sin _.解析a·bcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin 12若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析设a与b的夹角为，cab，ca，c·a0，即(ab)·a0.a2a·b0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0°，180°即120°.13已知向量m(1,1)，向量n与

26、向量m夹角为，且m·n1，则向量n_.解析设n(x，y)，由m·n1，有xy1.由m与n夹角为，有m·n|m|·|n|cos ，|n|1，则x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)14.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_6_.三、解答题15.设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解e4，e1，e1·e22×1×cos 60°1，(

27、2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e1·e27te2t215t7.向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，2t215t7<0.7<t<.假设2te17e2(e1te2) (<0) 2t27t，.当t时，2te17e2与e1te2的夹角为，不符合题意.t的取值范围是.16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值.解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4).所以|2，

28、|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)， t(32t,5t).由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在线段OC上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解 设存在点M，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(26)(36)(53)(13)0，即45248110，解得或M点坐标为(2,1)或.故在线段OC上存在点M，使，且点M的坐标为(2,1)或(，) 平面向量的数量积及其应用练习二一、选择题1设R,向量,且,则（）ABCD10【解析】

29、由,由,故. 2、定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于（）A B C或 D【解析】由，得，所以=3若向量a与b不共线，a·b0，且cab，则向量a与c的夹角为_解析：由于a·ca·a·aa·b，又a·b0，a·c|a|2|a|20，所以ac.答案：90°4如图，非零向量（ ）ABCD5在中，是边上的高，若，则实数等于（ ）A B C D6已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 A. 0, B. C. D. 解： 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，选B.7.设非零向量、满足，则( )A15

30、0° B.120° C.60° D.30°8、（2012湖南理）在ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.（）ABCD【解析】由下图知. .又由余弦定理知,解得. 9在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（）ABCD二、填空题10.若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.11.已知向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_4_.12.已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满

31、足不等式0·1,0·1，则z·的最大值为_3_.三、解答题13.设平面上有两个向量a(cos ，sin ) (0°<360°)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小.证明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab与ab垂直.(2)解由|ab|ab|，两边平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，则·cos ·sin 0，即cos(60°)0，60°k·180°90°， 即k·180°30°，kZ，又0°<360°，则30°或210°.14已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时的最小值 (1)证明a·bcos()·cossin·sinsin c