已打印高一数学必修2空间几何体及其表面积与体积测试题二

1、高一数学必修2第一章 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为 .3.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 .4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .5三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是 .例题精讲1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，B

2、B1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30°)及其体积.3 . 如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.4 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60°，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.巩固练习1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90&

3、#176;，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .2.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 .3.如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥ABCD的体积.4.如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.课后作业一、填空题1. 如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，A

4、E，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 .2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是 .3.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .4.（2007·辽宁文，15）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 .5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .7.（2008·四

5、川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .8.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .二、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是 cm,（1）求三棱台的斜高； （2）求三棱台的侧面积和表面积.10.如图所示，正ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？

6、11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.（1）求三棱锥CBED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VSABC最大，并求最大值.参考答案基础自测1. 12 2. 3. 4. 9 5. 3+例题精讲1.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为： =，=， =，abc0,abacbc0.故最短线路的长为.2. 解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90°,BAC=30°,

7、AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=×R×R=R2, =×R×R=R2,S几何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.3. 解 已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB.设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h,因此，棱锥CADD的体积VCADD=×Sh=Sh.余下的体积

8、是Sh-Sh=Sh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.4. 解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体方法一 作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=，AF=，在AFG和AHO中，根据三角形相似可知， AH=.OA=.外接球体积为×OA3=··=方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.正四面体的棱长为1，正方体的棱长为，外接球

9、直径2R=·，R=，体积为·=.该三棱锥外接球的体积为.巩固练习1. 5 2. 113. 解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=·MN·AD=·8·8=32.VABCD=VBADM+VCADM=×SADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.4. 解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=O

10、S，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC为正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）设内切球半径为r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，连接EF，则有SF=.SSBC=BC·SF=a×a=a2.S棱锥全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱锥=S底h=a2×a=.r=,S球=4r2=a2.课后作业1. 2. 48 3. 4 4. 45. 24 6. 7. 2 8. 1+9. 解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中

11、心，如图所示，则O1O=，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=,则DE=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中, D1D=.(2)设C、C分别为上、下底的周长，h为斜高， S侧=（C+C）h= (3×3+3×6)×=(cm2),S表=S侧+S上+S下=+×32+×62= (cm2).故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2.10. 解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，MNP为正三角形，故MNP=DAF

12、=60°.（2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，其侧面积为S侧=SEADF侧-SEMNP侧=3××22-3××12=.11. （1）解 CE=CC1=，VCBDE=VEBCD=SBCD·CE=××1×1×=.(2)证明 连接AC、B1C，AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=,BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90°,CBE+BCB1=90°,BEB1C.BEA1B1，A1B1B1C=B1，BE平面A1B1C，BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.12. 解 方法一 如图所示，设SC=a，其余棱长均为1，取AB的中点H，连接HS、HC，则ABHC，ABHS，AB平面SHC.在面SHC中，过S作SOHC，则SO平面ABC.在SAB中，SA=AB=BS=1，SH=