平面向量的概念及线性运算10833

1、平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等. (3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线.要点诠释：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

2、向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在 同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1运算法则：三角形法则、平行四边形法则2运算律：交换律：；结合律：要点诠释：1两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与 终点.2.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识点三：数乘向量1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)当时，的方向与的方向相同； 当时.的方向与的方向相反

3、； 当时，.2运算律设为实数结合律：； 分配律：，3共线向量基本定理 非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.类型一：向量的基本概念1判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.解析：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是 平

4、行四边形，则且与方向相同.因此.(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的 长度相等且方向相同.故.(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是 的充要 条件.总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是( )向量，则直线直线两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；向量既是有向线段；在平行四边形中，一定有.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C类型二：向量的线性运算2如图所示，

5、的两条对角线相交于点，且用表示思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转

6、化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.【答案】解：(如图)设则 和分别共线，存在使故 ，而由基本定理得 即 类型三：共线向量与三点共线问题3设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.解析：(1)证明 共线，又有公共点， 三点共线.(2)解 和 共线，存在，使，则由于 和不共线，只能有 则.总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)举一反三：【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证

7、明：A、C、D三点共线.证明： 又与共线，A、C、D三点共线.类型四：综合应用4在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心为G.解析：设的重心为G.由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是在任意时刻时，有 又为一确定向量. 的重心不变.总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平行四

8、边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中，(3)将(1)(2)(3)相加，得.平面向量的概念及线性运算基础达标：1.下面的几个命题：若；长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；若满足且与同向，则；由于方向不定，故不能与任何向量平行；对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：( )A. B. C. D.2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A. B. C. D.3.如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )A. B. C. D.4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B. C.D.5.如图，在平行四边形ABCD中，M、

9、N分别是DC、BC中点，已知，用表示=_，_.6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_.7.一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.8.已知，D、E是ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.平面向量的概念及线性运算基础达标答案与解析：1.B 【思路分析】向量的概念.2.B 【思路分析】，故选B.3.D 【思路分析】，由三角形中位线定理，故选D.4.B 【思路分析】向量的加、减法法则.5.【思路分析】设，M、N为DC、BC中点，在ABN中ADM中 解：.6.【思路分析】由不共线

10、，必有故7.解：【思路分析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，则由，就是渔船实际航行的速度，航行的时间为在中，8.【思路分析】向量的加、减法法则解：由三角形中位线定理知：DE/BC且DE=BC故.平面向量的基本定理及坐标表示知识点一：平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果且，那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量

11、坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).知识点三：平面向量的坐标运算运 算坐标语言加法与减法记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)实数与向量的乘积记=(x，y)，则=(x，y)

12、知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量，则(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要点诠释：若，则不能表示成因为分母有可能为0.类型一：平面向量基本定理 配图增加试题详解1P是ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.思路点拨：这里选取，两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成形式求解.解析：又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线而，为不共线向量故：总结升华：1在平面向量基本定理的应用中，当基底确定后，向量的表示是唯一的，合理的选取基底会给解题带来方便；2解决该类问题，用基底表示向量是基本方法，还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟

13、练应用.举一反三：【变式1】ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.思路点拨：选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.解析：设又又而比较，由平面向量基本定理得：解得：或（舍） ，把代入得：.类型二：平面向量的坐标运算2已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.思路点拨：根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.解析：设点C、D的坐标分别为，由题意得因为，所以有和，解得和所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而总结升华：向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任

14、意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】已知，且，求M、N及的坐标.解析：设，则同理可求，因此类型三：平面向量的坐标表示3平面内给定三个向量(1)若求实数k；(2)设满足且求.思路点拨：(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出.解析：(1) (2) 又且 平面向量的基本定理及坐标表示1.若向量与相等，且A(1，3)，B(2，4)，则x为( )A.1 B.1或4 C.0 D.-42.下列说法中正确的是( )一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底两个非零向量平行，则它们所在直线平行零向量不能作为基底中的向量两个单位向量的数量积等于零A. B. C. D.3.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( ) A. B.C. D.4.为正交基底，设则向量位于( )A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限5.若，当与平行时，实数的值_.6.如图所示，已知D为ABC的边的中点，E为AD上的一点且AE=