常微分方程解的稳定性修改

1、 常微分方程解的稳定性 摘要 本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。关键字： 常微分方程 稳定性 李雅普诺夫函数 V函数构造方法引言 常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法 ,开创了常微分方程定性理论 , 同时在分析中引入几何方法 ,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁 ,带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。 如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被

2、普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。 本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 1、 常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力 ,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏 ,致使研究的道路越来越窄。此时单纯的定量分析已不能解决问题 ,必须用一种综合化、 整体化的思想加以考虑. 避开微分方程求精确解的定

3、量方法 ,转向运用稳定性方法探求解的性质 ,从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组 （2.1） 其中函数 对 和 连续，对 满足局部利普希茨条件。 设方程（2.1）对初值 存在唯一解 , 而其他解记作 . 本文中向量 的范数取 .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。 如果对于任意给定的 和 都存在 ,使得只要 就有 对一切 成立，则称（2.1） 的解 是稳定的，否则是不稳定的。假设 是稳定的，而且存在 ，使得只要 就有 则称 （2.1）的解

4、是渐近稳定的。为了简化讨论，通常把解 的稳定性化成零解的稳定性问题。下面记 , 作如下变量代换：令 (2.2)则 于是在变换（2.2）下，将方程（2.1）化成 (2.3)其中 ，这样关于（2.1）的解 的稳定性问题就化为（2.3）的零解 的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2.1）的零解 的稳定性，即假设 ,并有如下定义：定义 2.1 若对于任意给定的 和 ，存在 , 使当 时有 （2.4）对所有的 成立，则称（2.1）的零解是稳定的，反之是不稳定的。定义 2.2若 （2.1）的零解是稳定的，且 存在 （ 为定义2.1中的），当 时有 则称（2.1）的零解是渐近稳定的。例1. 考察系统 的零

5、解的稳定性。 解： 不妨取初始时刻 , 对于一切 , 方程组满足初值条件 的解为 对任一 ，取 ，则当 时 ，有 故该系统的零解是稳定的。然而，由于 所以该系统的零解不是渐近稳定的。2、 常微分方程解的稳定性的重要意义在实际情况中,干扰性因素总是不可避免的,因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值,这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义(称为“李雅普诺夫意义下的稳定性”) :如果对于任何正数,无论它多么小,可以选取另一个正数() ,使得对于所有受干扰的运动,当其在初始时刻t0 时满足而在所有t > t0 时满足不等式则 的未被扰动运动(即)

6、是稳定的;反之,则称未被扰动运动是不稳定的。这个定义简单而有力,既反映了深刻的物理本质,又具有严格的数学含义,极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义,成为更严格、更自然的定义。接着,他又给出了两种解题方法: ( 1)幂级数展开法,适用于已知扰动运动方程一个明确解(通常为无穷级数的形式)的情形。( 2)李雅普诺夫直接方法,即李雅普诺夫第二方法,至今它仍是解决稳定性问题的主要工具。这种方法不用寻求运动方程的特解与通解,只要结合实际的物理背景,构造一类具有特殊性质的李雅普诺夫函数,利用它控制积分曲线的动向,从而解决未被扰动运动的稳定性问题。 李雅普诺夫使用分析的方法,以严格的分析证明解决稳定性问题。

7、理论的严格性与彻底性是李雅普诺夫工作的显著特征之一。如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。3、 李雅普诺夫第二方法3.1 李雅普诺夫函数的介绍李雅 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数和通过微分方程所计算出来的导数 的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法。下面，先引入李雅普诺夫函数概念我们考虑自治系统 (3.11) 假设 在 上连续，满足局部利

8、普希茨条件，且 . 定义 3.1 若函数 满足 ,和 都连续，且若存在 ,使在 上 ,则称 是常正(负)的;若在D上除 外总有 ，则称 正(负)的；既不是常正又不是常负的函数称为变号函数。通常我们称函数 为李雅普诺夫函数。例： 函数 在 平面上为正定的； 函数 在 平面上为负定的；函数 在 平面上是变号函数； 函数 在 平面上是常正函数；3.2 李雅普诺夫第二方法的相关定理定理 3.1对系统 （3.11），若在区域D 上存在李雅普诺夫函数满足 （1） 正定 （2） 常负， 则 （3.11）的零解是稳定的。证明：对任意 ,记 则由 正定，连续和 是有界闭集知 由 和 连续知存在 ，使当 时， ,

9、于是有 时， (3.12) 若上述不等式不成立，有 和 的连续性知存在 当 时， ， 而 。那么由 b 的定义，有 (3.13) 另一方面，由条件（2）知 在 上成立，即 时， 自然有 ，与 （3.13）矛盾，即（3.12）成立。引理 若 是正定（或负定）的李雅普诺夫函数，且对连续有界函数 有 则定理 3.2对系统 （3.11），若在区域D 上存在李雅普诺夫函数满足（1） 正定 （2） 负定，则 （3.11）的零解是渐近稳定。 证明： 由定理（3.1）知（3.11）的零解是稳定的。取 为定理（3.1）的证明过程中的 ，于是当 时， 单调下降。若 ,则由唯一性知 ，自然有 不妨设 .由初值问题解

10、的唯一性，对任意t ， 。 从而由 的正定性知 总成立，那么存在 使 假设 ,联系到 的单调性有 对 成立，从而由 知存在 ,使 时， (3.16)成立。 由条件（2）有 故从（3.16）知 对上述不等式两端从 到 积分得 该不等式意味着 矛盾，故 ,即 由于零解是稳定的，所以 在 上有界，再由引理知 。 定理证毕定理 3.3对系统 （3.11），若在区域D 上存在李雅普诺夫函数满足（1） 正定 （2） 不是常负函数则系统（3.11）的零解是不稳定的.4、 李雅普诺夫第二方法的构造和应用4.1 李雅普诺夫函数的构造在判定系统是自治的情况下，微分方程的稳定性和将近稳定性，可以构造如下形式的李雅普

11、诺夫函数（1） 二维空间： 这里 a ,b >0 ,m,n为正整数 （2） n维空间 其中 同号， 都是正整数. 这样构造的整数 , 都是定号函数且不含t， 也就有无穷小上界的性质。 4.2 李雅普诺夫第二方法的应用例1: 讨论方程组零解的稳定性 解： 取函数 是正定函数。沿方程的全导数为 (常负函数)。由定理（3.1）知零解稳定。 例2： 研究质点振动方程 零解稳定性。解： 原振动方程可转化为 零解对应平衡点 （0,0） 取函数 是正定函数，沿方程的导数为 (常负函数)。 由定理3.1 知，零解稳定. 例3： 讨论方程组零解稳定性 解： 取 是正定函数，沿方程对t求导 可知当 时， 是负函数，由定理3.2知零解渐近稳定. 参考文献:1 东北师范大学微分方程教研室