幂级数与欧拉公式的研究

1、学 士 学 位 论 文系 别： 应用数学系 学科专业： 数学与应用数学 姓 名： 贾 晨 运 城 学 院 二 零 一四 年 五 月 幂级数与欧拉公式的研究系 别： 应用数学系 学科专业： 数学与应用数学 姓 名： 贾 晨 指导教师： 常敏慧 运 城 学 院 二 零 一四 年 五 月 幂级数与欧拉公式的研究摘 要 幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数项级数，欧拉公式在各领域的不同形式应用广泛. 复数函数中的欧拉公式将定义与形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁.因此，幂级数与欧拉公式这一课题的研究对实际科研与应用具有重大意义.本文首先对幂级

2、数的基础知识及应用进行归纳总结，然后对欧拉公式特别是复数函数中的欧拉公式的基本知识及应用进行归纳总结，最后探究幂级数与复数函数中的欧拉公式的联系.关键词 幂级数 欧拉公式 三角函数 泰勒展开Study of Power Series and Euler's FormulaAbstract Power series is a kind of function series that simple form and a wide range of applications, different forms Euler equations are widely used in various

3、 fields. Euler's formula of complex functions, contact exponential functions and trigonometric functions which have different definitions and forms, to build a bridge for our research about the correlation calculation and its properties in these two functions. Therefore, the study of power serie

4、s with Eulers formula has great significance to the actual research and applications. Firstly, the paper summarized the basic knowledge and application of power series. Then, summarize Euler's formula especially in complex function in the basics and applications. Finally, explore the links betwe

5、en power and Euler's formula of complex function.Keywords power series Euler's formula trigonometric function Taylor power series目 录引 言1第1章 幂级数21.1 定义21.2 性质21.3 函数的幂级数展开31.4 幂级数的应用5第2章 欧拉公式82.1 欧拉公式的不同形式82.2 复数函数中的欧拉公式9第3章 幂级数与欧拉公式133.1 理论依据133.2 备用公式133.3 欧拉公式的形成14总 结15致 谢16参考文献16引 言幂级数是函数

6、项级数中最基本的级数，在其收敛区间内绝对收敛，并且具有可逐项积分与可逐项微分等性质.巧妙利用幂级数的展开式及其性质把一些较为复杂的问题转换较为简单的形式，在解题时往往思路清晰、条理清楚.幂级数的每一项都是幂函数，把一个函数展开成无穷项等比函数列求和的形式，不论在函数的理论研究还是在应用方面都有很重要的意义.18世纪是分析数学壮大的世纪，而欧拉是这个世纪的数学主将.不仅函数的第一个定义是他给出，他还倡用圆周率、对数底数、虚数单位等数学符号，对我们现当代数学产生巨大影响。其中欧拉公式在各领域的不同形式在理论和实际生活中应用十分广泛.复数函数中的欧拉公式，在初等数学中具有广泛应用，特别是在三角函数恒

7、等式证明中有重要的应用；在高等数学中也有极为广泛的应用，而且建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，它将数学中最重要的五个常数1、0、用一个公式便连接起来，被誉为“数学中的天桥”.从研究幂级数入手，利用求函数幂级数的简单方法，即让函数的各阶导数和幂级数的各阶导数相匹配.由、的幂级数，连贯的引出欧拉公式，并就此通俗的引入复数的概念，从而，对幂级数与欧拉公式的应用展开深入研究.复数函数中的欧拉公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁，因此，幂级数与欧拉公式这一课题的研究对实际科研与应用具有重大意义.第1章

8、幂级数1.1 定义由幂函数序列 所产生的函数项级数称为幂级数1.它是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，尤其是在表示函数方面.特别地，当，即是一种重要情形.1.2 性质1.2.1 一致收敛性 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内一致收敛.1 设幂级数的收敛半径为，且在点（）收敛，则幂级数在区间（）上一致收敛.1特殊地，当时，幂级数仅在处收敛.1.2.2 逐项求导和积分后的级数设（） ，（） ，则（）和（）与有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域.11.2.3 和函数的性质设在内，则： 在内连续；

9、若级数(或)收敛，则在点(或)是左（或右）连续； 对，在点可微且有 ； 对，在区间上可积，且 .注：当级数收敛时，无论级数在点收敛与否，均有 .21.3 函数的幂级数展开1.3.1 定义如果函数在处存在任意阶的导数，且对有（其中为积分型余项或Lagrange余项或Cauchy余项），则函数可以展开为幂级数1，即幂级数展开式为： 特殊地，令 ，称为麦克劳林级数.1.3.2 初等函数的幂级数展开初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.以下是部分初等函数的幂级数展开式1： ， （） ， （） ， （） 二项式的展开式：为正整数时，为多项式，展开式为其自身；不为正整数时，可在区间内展开为 .一

10、般地说，只有少数比较简单的函数，其幂级数展开式能直接从定义出发求解.更多的情况是从已知的展开式出发，通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法，间接地求得函数的幂级数展开式.例1 用间接方法求非初等函数的幂级数展开式.3解 以代替展开式中的，得，再逐项求积，可得在上的展开式为1.4 幂级数的应用1.4.1 理论应用 幂级数在函数方面的应用近似计算、积分计算、数项级数求和、求极限、求导、证明不等式、解微分方程、对数表的制造、表示某些非初等函数、推导欧拉公式等.例2 证明不等式，.4证明 因为，而 ，由于，故，例3 解微分方程.4解 设方程的解为，则将，代入得 原方程的通解为 （，为任意常数

11、） 在组合数学方面的应用在组合数学中，用幂级数可产生一个生成函数，即对数列，.5 递推关系 例4 已知求解 设，则设，则所以， 线性不定方程解的个数 组合恒等式 在概率统计中的应用为的阶矩，,满足，此时用幂级数定义的概率母函数.5 进行解析延拓把幂级数推广到复数域内，即为复数常数，则有.它是函数解析延拓的重要工具，不论用什么方法得到的解析延拓，都可以用幂级数解析延拓得到.51.4.2 实际应用 弹性半空间地基上中厚圆板的计算、传染病传播、生物繁殖等.例5 考虑一个周边自由圆板，在板中受均布荷载，半径，板厚，泊松比，弹性模量，泊松比，半空间地基弹性模量，据这些参数，可以求得,、分别取到5，即只取

12、级数的前六项计算.代入弹性半空间地基上中厚圆板幂级数解法的基本方程组 其中，为板与地基系统的相对刚度.易解出各系数，.可得地基反力为：应用幂级数法求解弹性半空间地基上中厚圆板的弯曲问题，先分别假设板、地基的解为幂级数形式，再采用比较系数法导出问题求解的代数方程组，简化了计算.该方法也可推广到其他轴对称荷载作用下弹性半空间上中厚圆板弯曲问题的求解.6第2章 欧拉公式2.1 欧拉公式的不同形式在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中：分式里，它的形式为 ，其中，当时，式子的值为0；当时，式子的值为1；当

13、时，式子的值为 .平面几何中，设的外心为,内心为,外接圆半径为,内切圆半径为,又记外心、内心的距离为,则有.拓扑学里，,在空间中是多面体的顶点个数，是多面体的面数，是多面体的棱的条数，是多面体的欧拉示性数；在平面上是图形的顶点个数，是图形内的区域数，是图形的边数.在非简单多面体中，欧拉公式的形式为：,其中指的是平面上不完整的个数，而指的是独立的多面体的个数，指的是多面体被贯穿的个数.初等数论中，欧拉函数是所有小于的正整数里，和互素的整数的个数.是一个正整数.可得欧拉公式 ，都是素数，且两两不等.在物理学中，众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系：，其

14、中，表示我们施加的力，表示与其对抗的力，为自然对数的底，表示绳与桩之间的摩擦系数，表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比.2.2 复数函数中的欧拉公式在本文中主要研究复数函数中的欧拉公式及其应用，其具体形式为：，是自然对数的底，是虚数单位7.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 复数函数中的欧拉公式在初等数学具有广泛应用，特别是在三角函数恒等式证明中有重要的应用.它在高等数学中也有极为广泛的应用，举例如下:2.2.1 基础代换计算例6 计算下列各式的值 ； .8解 因为由欧拉公式有，所以.（说明不是

15、虚数） 在欧拉公式中，取，得所以， ，2.2.2 求高阶导数，求积分根据复指数函数的导数、积分的计算和实变复值函数的高阶导数、积分公式的特点，将、等类型函数的高阶导数、积分问题利用欧拉公式转换为的高阶导数、积分问题.例7 设，其中是常数，求.8解 构造辅助函数，及，则由欧拉公式得 从而分离其实部和虚部，即得所求2.2.3 求函数的级数展开式例8 求函数的麦克劳林展式.8解 构造辅助函数，及，则的麦克劳林展式为，分离其实部与虚部得，所以， .2.2.4 求三角级数的和函数例9 求三角级数在收敛域上的和函数.8解 设所求为，构造在上收敛的三角级数，并设其和函数为，于是有 分离其实部与虚部得，三角级

16、数在收敛域上的和函数为：.2.2.5 求复数形式的傅里叶级数例10 根据实数形式的傅里叶级数求复数形式的傅里叶级数.8解 若函数以为周期，在上连续或至多有第一类间断点，若在上至多有有限个单调区间，则其实数形式的傅里叶级数为，其中傅里叶系数为 ，因为，所以在傅里叶系数的表达式中，若以代替，有，记，则函数复数形式的傅里叶级数为，其中系数计算公式为.2.2.6 求微分方程的通解例11 求微分方程的通解.9解 原方程的特征方程为，即.可知，该特征方程的特征根为，.于是，由欧拉公式及微分方程解的叠加原理得原方程的通解为.其中，是不全为零的常数.第3章 幂级数与欧拉公式本部分主要研究复变函数中的欧拉公式与

17、幂级数的联系，即借助幂级数展开式推导欧拉公式.3.1 理论依据定理1 设在区间内存在任意阶的导数，幂级数的收敛区间为，则在区间内 成立的充分必要条件是：在这个区间内， .1定理2 如果函数能在某个区间内展开成幂级数，则这个幂级数是唯一的.注意：上述定理中的可以推广到复数域中.3.2 备用公式 ， （） ， （） ， （） 3.3 欧拉公式的形成式中的推广到复数域，考察复数项级数 ，可以证明，该级数在复平面上是绝对收敛的，它的和为，即 特别地，当（为实数）时，可得:即 （） 式中以代替得 （） 从而， 上述都叫欧拉公式10,11，它揭示了三角函数与复变量指数函数之间的关系.特别地，式中令即得著名

18、的欧拉公式：.克莱茵（Klein，1849-1925，德国）认为，这是数学中最漂亮的公式之一.有人把该式列为是个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0、1、用一个等式连接起来，显示了数学中的统一美，显示了数学各领域间的强烈联系，如：0：正负数的分界；1：任意自然数与它的后继数之差；：的根，属于代数；：圆周长与直径之比，属于几何；：时的极限，属于分析.因此，数学家评价它为“上帝创造的公式”.总 结幂级数与欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用幂级数是函数级数中最基本的级数，其在其收敛区间内绝对收敛，并且具有可逐项积分与可逐项微分等性质.巧妙利用幂级数的展开式及其性质把一些较为复杂的问题转换较为简单的形式，不论在函数的理论研究还是在应用方面都有很重要的意义.欧拉公式在理论和实际中都有广泛应用，为更好的掌握和应用，有必要研究和探讨幂级数与欧拉公式的联系.复数函数中的欧拉公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁.掌握幂级数与欧拉公式的基本知识及联系，对于掌握有关数学思想、增强数学审美意识、提高高等数学的学习质量具有重要意义.因此，有必要对幂级数与欧拉公式这一课题进行更深入的探讨.致 谢感谢我的大学，给了