导数及应用教师版本

1、【考纲解读】1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义2导数的运算（1）能根据导数定义，求函数的导数（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数（3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：（为常数）， ·法则1： ·法则2： ·法则3：【要点梳理】1.导数的概念(1)f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的瞬时变化率，记作:或f/(x0),即f/(x0)=.(2)当把上式中的x0看作变量x时, f/(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即=.2.导数的几何意义:函数f(x)在x=

2、x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k= f/(x0),切线方程为.3.基本初等函数的导数公式4.两个函数的四则运算法则若u(x),v(x)的导数都存在,则法则1：法则2：法则3：.【例题精析】考点一 导数的概念及几何意义例1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_1.（2011年高考江西卷文科4)曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1 B.2 C. D.例2.(2010年高考全国2卷理数10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（ ）（A）64 （B）32 （C）16 （D）82.(20

3、10年高考江西卷文科4)若函数满足，则（ ）A B C2 D0【课时作业】1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则 ( ) A2 BCD.2. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线在点（1,0）处的切线方程为( ) （A） （B） （C） （D）【答案】A 【解析】，所以，所以选A3（2010年高考全国卷文科7）若曲线在点处的切线方程是，则( )（A） (B)(C) (D)【答案】A 【解析】，在切线，.4. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线在点（-1，-1）处的切线方程为( )（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=

4、-2x-25（2010年高考辽宁卷文科12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( ) (A)0,) (B)（C） (D) 【答案】D 【解析】，即，.6. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 _ _.1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线在点（1，2）处的切线方程为 ( )A BC D【答案】A【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为，选A.2. （2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)153 (2011年

5、高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )(A) (B) (C) (D)1【答案】A【解析】： ，切线方程为由 则 故选A.4（2011年高考湖南卷文科7)曲线在点处的切线的斜率为（ ）A B C D5. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为.【答案】【解析】因为,所以切线的斜率为2，故所求的切线方程为.6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.求k的值.【要点梳理】1.(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在

6、某个区间内可导,如果f /(x)>0,则f(x)为增函数;如果f /(x)<0,则f(x)为减函数.2.(函数单调性的必要条件) 设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间上单调递增(或递减),则在该区间内f /(x)0(或f /(x)0).3.利用导数判断函数单调性的一般步骤:(1)求导数;(2)在定义域内解不等式或;(3)确定单调区间.4.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大,那么函数在这个范围内变化越快,这时,函数的图象就越陡峭.5.(1)函数的极值的概念:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近的其他点的函数值都小, f/ (a)=0;而

7、且在点在x=a附近的左侧,右侧,点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在x=b附近的其他点的函数值都大, f/ (b)=0;而且在点在x=b附近的左侧,右侧,点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.(2)求函数极值的步骤:求导数;求方程的根;检查f/ (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取极小值.6.函数的最大值与最小值在闭区间a,b上连续

8、,在(a,b)内可导.f(x)在a,b上,求最大值和最小值的步骤:(1)求在区间内的极值;(2)将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.7.生活中的优化问题(即利用导数解决实际问题中的最值问题)(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f/ (x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.【例题精析】考点一 利用导数研究函数的单调性例

9、1.(2012年高考浙江卷文科21第1问)已知aR，函数求f(x)的单调区间【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并考查了学生的分析问题的能力.【变式训练】1.（2010年高考辽宁卷文科21第1问）已知函数.讨论函数的单调性。考点二 利用导数求函数的极值、最值例2.(2012年高考重庆卷文科17)（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值【答案】（）（）【变式训练】2.(2012年高考陕西卷文科9)设函数f（x）=+lnx 则 （ ）Ax=为f(x)的极大值点 Bx=为f(x)的极小值点Cx=2为

10、 f(x)的极大值点 Dx=2为 f(x)的极小值点【答案】D考点三 利用导数解决实际问题例3.（2012年高考江苏卷17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【变式训练】3（2010年高考山东卷文科8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年

11、利润的年产量为（ ）（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 问题：求单调区间时，忽视定义域例.函数的单调递减区间为.【答案】1.（2009年高考广东卷A文科第8题）函数的单调递增区间是( ) A. B.(0,3) C.(1,4) D.2(2010年高考江西卷文科4)若函数满足，则( )A B C2 D0【答案】B【解析】则此函数为奇函数，所以。3. (2012年高考陕西卷理科7)设函数，则（ ）（A） 为的极大值点 （B）为的极小值点（C） 为的极大值点 （D）为的极小值点4.(2012年高考新课标全国卷理科12)设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）5. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 _。8（2010年高考天津卷文科20）已知函数f（x）=，其中a>0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.若a>2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当等价于 解不等式组得-5<a<5.因此.9.