工程流体力学 禹华谦 习题答案

1、 第六章 理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数、流函数存在否?（3）求、 解：（1）由于，故该流动满足连续性方程 （2）由z=()=0, 故流动有势，势函数存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数存在，.（3）因 Vx=4x+1 Vy=-=-4y d=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy= d=dx+dy=Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy =2x2-2y2+xd=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy= d=dx+dy=-Vydx+Vx

2、dy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数、流函数存在否? (3)求、 .解：（1）由于+=2x1（2x1）0，故该流动满足连续性方程，流动存在.(2）由z=()=0, 故流动有势，势函数存在，由于该流动满足连续性方程，流函数也存在. （3）因 Vx= = x2-y2+x, Vy=-=-(2xy+y). d=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(

3、- (2xy+y)dy =-xy2+(x2-y2)/2d=dx+dy=-Vydx+Vxdy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy =(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/36-3平面不可压缩流体速度势函数 =x2-y2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值解: 因 Vx= =2x-1，Vy ，由于+0，该流动满足连续性方程，流函数存在d=dx+dy=-Vydx+Vxdy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y 在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; =3 在点(2,2)处 Vx=3

4、; Vy=-4; =66-4已知平面流动速度势函数 =-lnr,写出速度分量Vr,V,q为常数。解: Vr= =-, V=06-5 已知平面流动速度势函数 =-m+C ,写出速度分量Vr、V, m为常数解: Vr= =0, V=-6-6已知平面流动流函数=x+y,计算其速度、加速度、线变形率xx,yy, 求出速度势函数.解： 因 Vx= = 1 Vy=-=-1 d=dx+dy=Vxdx+Vydy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y ax=； ay= 6-7 已知平面流动流函数=x2-y2,计算其速度、加速度,求出速度势函数.解： 因 Vx= = -2y Vy=-

5、=-2x d=dx+dy=Vxdx+Vydy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xy ax=x ay=y; 6-8一平面定常流动的流函数为 试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，）两点的流线方程.解：, 平面上任一点处的速度矢量大小都为，与x和正向夹角都是。A点处流函数值为，通过A点的流线方程为。同样可以求解出通过B点的流线方程也是。6-9 已知流函数=V(ycos-xsin),计算其速度,加速度,角变形率(=(+),并求速度势函数.解： 因 Vx= = Vcos Vy=-= Vsis d=dx+dy=Vxdx+Vydy= d=dx+dy=Vxdx

6、+Vydy= Vcosdx+ sisdy= V( cosx+ sisy) ax= ay=; =(+)=06-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。解: 不可压缩三维流动的连续性方程为 将关系代入上式得到 或 可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。6-11 什么样的平面流动有流函数?答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程或 的情况下平面流动有流函数. 6-12 什么样的空间流动有势函数?答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量=i+j+k都是零矢量，即，或关系成立, 这样的空间流动有势函数. 6-13 已知流函数=-,计算流场速度.解: Vr=- V=-=06-14平面不可压

7、缩流体速度势函数 =ax(x2-3y2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.解： 因 Vx=a(3x2-3y2) Vy=-=-6axy d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy =6axydx+(3x2-3y2)dy =3x2y-ay3在A(0,0)点 A=0； B（1,1）点B=2a，q=A-B=-2a.6-15 平面不可压缩流体流函数=ln(x2 +y2), 试确定该流动的势函数.解：因 Vx= = Vy=-=- d=dx+dy=Vxdx+Vyd

8、y=dx-dy Vxdx+Vydy=dx-dy=-26-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为，, 流函数分别为。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数可由下式求出：同样，合成流动的流函数等于6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数和流函数与速度分量有什么关系?解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数和流函数与速度分量有如下关系. 6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?解:在平面定常有

9、势流动中，势函数只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。6-19 试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V)的速度势函数，流函数.解：因 Vx= =0 Vy=-=V d=dx+dy=Vxdx+Vydy=0dx+ Vdy = Vyd=dx+dy=-Vydx+Vxdy=- Vdx - Vx6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 试证：（1） 该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求, (3)求，解：（1）由于 1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数存在(2）由

10、于z= ()=0, 故流动有势, 势函数存在.3）因 Vx= =x-4y Vy=-=-y-4xd=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy =d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy= d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy =xy+2(x2-y2)6-21 已知平面流动流函数=arctg，试确定该流动的势函数.解：因 Vx= = Vy=-= d=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy = d=dx+dy=Vxd

11、x+Vydy= dx+dy = 6-22 证明以下两流场是等同的，()=x2+x-y2, ()=2xy+y. 证明:对 ()=x2+x-y2 Vx= =2x+1 Vy=-2y 对 () =2xy+y Vx =2x+1 Vy=-=-2y 可见与代表同一流动.6-23 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q0）。解: 两个流动的势函数分别为及, 合成流动的势函数为+, +)=(+)=6-24 如图所示，平面上有一对等强度为的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平

12、行于x轴的来流，试求合成速度在原点的值。解: 平面上无穷远平行于x轴的来流, 上,下两点涡的势函数分别为，, , 因而平面流动的势函数为+ , ,+,将原点坐标(0,0)代入后可得, .6-25 如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。解: 均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为及, 因而平面流动的势函数为+, , ,令, 得到,. 6-26如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.解: 先计算流场中驻点位置.均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为及, 因而平面流动的势函数为+, , ,令, 得到,.此即流场中驻点位置. 均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为, ,因而平面流动的流函数为+, 在驻点, 因而经过驻点的流线方程为+=06-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。解: 均