定积分及其应用3

1、第七章 定积分（30课时）教学目的与要求1 知道定积分的客观背景: 曲边梯形的面积和物体运动的路程以及解决这些实际问题的思想方法， 深刻理解定积分的意义;2 掌握小和与大和的概念及其性质;3 理解可积准则的分析意义及几何意义;4 会应用可积准则证明三类函数的可积性, 能独立证明可积性问题;记住定积分的性质并掌握每个性质的证明方法； 5 掌握应用定积分的性质证明定积分的有关问题6 深刻理解微积分基本定理的意义，并具有应用积分基本定理证明有关的定积分的能力；7 熟练地应用NewtonLeibniz公式，定积分的分部积分公式和换元公式计算定积分；8熟练应用本节给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线

2、的弧长、用截面面积计算体积、旋转体体积及它的侧面积；9 掌握曲率及曲率半径的计算方法，会求曲率圆方程。教学重点与难点重点： 1定积分的性质，微积分基本定理；2定积分的分部积分公式和换元公式计算定积分；3计算平面区域的面积、平面曲线的弧长、用截面面积计算体积、旋转体体积及它的侧面积。难点：1小和与大和的概念及其性质;2可积准则的分析意义及几何意义;3 应用积分基本定理证明有关的定积分的能力。 第一节 定积分的概念与可积条件教学目的：1. 知道定积分的客观背景: 曲边梯形的面积和物体运动的路程以及解决这些实际问题的思想方法;2. 深刻理解定积分的意义;3. 掌握小和与大和的概念及其性质;4. 理解

3、可积准则的分析意义及几何意义;5. 会应用可积准则证明三类函数的可积性, 能独立证明可积性问题;教学过程1 定积分的背景例1. 求曲边梯形的面积及非匀速直线运动的物体在一段时间内的位移.2 定积分的定义（P275276） ，. f(x)在a,b上的定积分是为了运算的需要，规定：a=b时 3 Darboux 和性质1对a, b的一个分法T，增加某些新分点构成a, b的一个新分法T，有证明：只增加一个新分点，区间分成，上的最小值记为， 上的最小值记为，则，从而此即性质2对任意分法，有证明：合成，由性质1，可得性质3：从性质3，可以直观地看出，当时，函数可积。因为4 Riemann可积的充要条件定理

4、1（可积准则）f(x)在a, b上可积当且仅当证明：必要性得到，或充分性（略）定义振幅定理1（可积准则）f(x) 在a, b上可积当且仅当5 三类可积函数定理2闭区间上的连续函数可积。定理3f(x)在a, b上单调，则f(x)在a, b上可积。证明：不妨设f(x)在a, b上单调增加，对a, b的任意分法T，函数f(x)在小区间上的下确界mk与上确界Mk分别是则，对a, b的任意分法T，当时，即时，有根据可积准则的充分性，单调函数f(x)在a,b上可积定理4.f (x)在闭区间a,b上有界，且存在有限个不连续点，则f (x)在a,b上可积证明：不妨设是一个不连续点，其余都为连续点w=M-m,

5、M,m分别为f (x)在a,b上的最大最小值去掉小区间后，f (x)在，上连续，从而一致连续，时 同样时 取当时，（）当时（）同样满足对a,b的一个分划T只要L(T)将区间分成两类：（I）全部落在或中 （II）至少有一点落在中其余见教材P283284作业：P285 5 、6、7、9 第二节 定积分的基本性质教学目的：1、记住定积分的性质并掌握每个性质的证明方法； 2、掌握应用定积分的性质证明定积分的有关问题教学过程1 定积分的性质由定积分的几何意义得1.1 在a,b上，f (x)c（const）则f (x)c在a,b上可积，且证明：f (x)c在a,b上的积分和c=c(b-a)则c(b-a)即

6、1.2 (线性性) ,在a,b上可积，则在a,b上也可积，且证明：+在a,b上的积分和+ =+即 推论1 f(x)在a,b上可积，则c f(x)在a,b上也可积，且c证明：推论2 n个函数都在区间a,b上可积，则它们的线性组合. 在a,b上也可积1.3 区间的可积性 (1) f (x)在a,b上可积 ，则f (x)在,a,b上可积(2) f (x)在a, c与c,b上可积，则f (x)在a,b上可积推论3若f (x)在A,B上可积，且a,b,c 是A,B上任意三点则推论4若f (x)在区间(k=1,2,n)上都可积，则f (x)在上可积，且1.4 (保序性) f (x), g (x)ka,b,

7、xa,b有f (x)g (x)，则思考题：P293 第4题。(保号性) f(x)ka,b,xa,b有f (x)0(f (x) 0), 则().证明：因为由f (x)在a,b上可积与极限的保号性可得证。1.5 (绝对可积性) f (x)ka,b ka,b且。推论5设f (x)ka,b, f (x)k (const)，则2 积分第一中值定理设和都在上可积, 在上不变号, 则存在, 使得 .这里和分别表示在上的上确界和下确界.特别地有：（1）设f (x)Ca,b，则ca,b使f (c)(b-a)证明：已知f(x)Ca,b，则f (x)在a,b上必取到最大最小值，mf (x)M , axb，有m(b-

8、a) M(b-a)， 即m，由介值定理，得到在a, b内至少一c, 使f (c)= （axb）即f(c)(b-a)几何意义图7.1图7.1（2） f (x),g (x)Ca, b. g (x)在a, b上不变号，则ca, b使 f (c) 证明：不妨设g (x)0 ， 所以 mM若；若。思考题：P293 第2题。阅读教材P291293。作业：P293 P293294 5、6、7、9、10 第三节 微积分基本定理 教学目的：1、深刻理解微积分基本定理的意义，并具有应用积分基本定理证明有关的定积分的能力；2、熟练地应用NewtonLeibniz公式，定积分的分部积分公式和换元公式计算定积分。教学过

9、程1 微积分的基本定理：NewtonLeibniz公式1.1 积分上限函数定义、性质、应用P2962981.2 微积分的基本定理：NewtonLeibniz公式P298299注意定理的条件, 见教材P307例2 定积分的计算2.1定积分的分部积分 2.2 定积分的换元积分法2.3 利用定积分的奇偶性和周期性计算阅读教材:P300-306, P308-309例1 求下列定积分(1) (2) (3) 例2 见教材P311 第9、10题例3 见教材P312 第12题例4 见教材P313 第20、23题作业：P312313 13、14、15、16、22、24 第四节 定积分在几何中的应用 教学目的1

10、熟练应用本节给出的公式，计算平面区域的面积；平面曲线的弧长；用截面2 面积计算体积、旋转体体积及它的侧面积。教学过程1 求平面图形的面积1.1 直角坐标系下平面图形的面积 ：（1）简单图形： 型和型平面图形 . 给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. 例1 求由曲线 围成的平面图形的面积.例2 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积.1.2 参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程 , 即 .例3求椭圆x=a cost, y

11、=b sint 的面积。 解： S= =ab = =(x-sin2x) = a b例4、旋轮线：x=a(t-sint) , y=a(1-cost) (a )一拱与x轴围成的区域的面积解：S=3具体计算时常利用图形的几何特征 .例5 由摆线 的一拱与轴所围平面图形的面积. 1.3 极坐标下平面图形的面积 : 推导由曲线 和射线 所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . ) 。 . 例6 求由双纽线 所围平面图形的面积 .解 或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代 方程不变, 图形关于轴对称 ; 以代, 方

12、程不变, 图形关于轴对称 . 因此 .例7三叶玫瑰线:解 =2 平面曲线的弧长2.1 弧长的定义定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用折线总长的极限定义弧长 .可求长曲线 .2.2 弧长计算公式 光滑曲线的弧长. 设 ， 又，和在区间 上连续可导且. 则上以和为端点的弧段的弧长为 .为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对,有 , 其几何意义是: 在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边 . 事实上， .为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计 . 如果曲线方程为极坐标形式 连续可导, 则可写出其参数方程 . 于是 .2.2.

13、1 直角坐标系下的情形 定义：若当时，L（T）=LMN可求长，其长为L f (x)在区间a , b上可导，且连续，则在a,b上的曲线可求长，且弧长L= （1）（1）式是弧长公式。证明： = =, L= 例8 f (x)=在0,a上的弧长解： = =例9 求曲线的全长 解：由已知有：， ，所以 从而由公式（1） 曲线的全长为：令= ，则dx=2tdt ， 当x=0时，t=0；当x=1时，t=1所以= =1+ 参数方程参数方程 （）在上连续，则例 10 求半径为r的圆的周长解：*例 11 星形线的全长 极坐标 表示在上连续 例12 求心脏线的全长 解：3 求某些特殊形状的几何体的体积3.1 已知幂

14、势立体的体积 设立体之幂为. 推导出该立体之体积 .祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子 , 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例13求由两个圆柱面 和 所围立体体积 . ( )例14 计算由椭球面 所围立体 (椭球 )的体积 . ( )3.2 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式. .例15 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例16 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.例17 求由圆绕轴一周所得旋转体体积. ( 1000 )例18 轴正半轴 . 绕轴旋转 . 求所得旋转体体积.4求旋转体的侧面积 用微元法推出旋转曲面的面积公式 ：曲线方程为 时，；曲线方程为 时，.例19 求 例16、17中侧面积。5 曲线的曲率：（阅读教材P326329）作业：P331 8、11、12、13（5）（6）及体积、17（1）（3）、18 第五节 微积分实际