大学数学概率论

1、第十讲 Ch.2 随机变量及其分布§2.4 常用离散型分布Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型 二项分布(以重伯努利试验为背景的分布)1. 二项分布的定义与记号记“重伯努利试验中发生(即成功)的次数”，则为离散型，其可能值为.且由事件的独立性可得 .其中,满足.基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下：若的分布列为,则称服从参数为的二项分布（因其形式而得名），记为.Remarks容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性. 实际中二项分布的例子： 检查不合格品率为的一批产品中的10件，其中不合格品数；随机调查色盲率为的任意50个人中的色盲人数；命中率为的射手5

2、次射击中命中次数.2. 利用二项分布的分布列计算概率例 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲习题的第2题) 一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率.解 记=“抽检5件产品中一级品的件数”，则依题意可知，于是 抽检5件中至少有2件是一级品 例 已知，若，求.解 由及，得 ，即 ，解之得 或 (舍去),于是，所以.3. 二点分布(二项分布的特殊情形) 的二项分布称为二点分布，或称0-1 分布，易见，若的分布为二点分布，则其分布列为 .表格列示就是0 1 Remark (回到重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记“重伯努利试验中成功的次数”，则

3、；又记"重伯努利试验中第次试验'成功'的次数"，则易见相互独立(的独立性第三章中讨论)，且 .这结果表明：服从二项分布的是个独立的二点分布的之和.4. 二项分布的期望与方差若，则，.Proof 由，得 于是 .又 ，于是.Remarks若，则.一定时，对服从二项分布的取的概率，即变化特点的描述：如，分别取时，的变化特点是1) 的峰值出现在接近的值处；2) 的峰值随的增大而右移.教材有相应的图形揭示.例 (自学)泊松分布1.泊松分布定义与记号若的分布列为.其中，则称服从参数为的泊松分布，记为. Remarks泊松分布的分布列满足非负性和正则性.一本书中的出错处

4、数是服从泊松分布的；其它服从泊松分布的实例.2. 泊松分布的期望与方差若，则.(参数既是期望也是方差！)Proof Remarks若，则.记住这个结论是主要的，其证明看过即可.对服从泊松分布的取的概率，即变化特点的描述：如，分别取时，的变化特点是1) 的峰值出现在接近的值处；2) 的分布随的增大趋于对称.教材有相应的图形揭示.3. 泊松分布应用例例 一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率.解 记=“该铸件上的砂眼数”，则，于是 铸件合格=.(用查的泊松分布表) 从而铸件不合格=.例 (自学)4. 二项分布的泊

5、松分布近似 Remark 问题：二项分布概率计算在较大时计算量很大，如何处理？解决方法：转为泊松分布作近似计算.理论依据：泊松定理.定理（泊松定理）若,则当充分大，且足够小时，则有，其中.Proof (略)Remarks使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果不是很大，不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是近似的效果不好而已.对不同的、值，利用定理的近似效果揭示. 见表2.4.3.泊松定理应用例例 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率.解 设=“该单位患此病的人数”，则，于是该单位500

6、0人患此病的人数不超5人)，这里=5000较大，=0.001也是足够小，于是，由泊松定理可取，做近似计算，所求概率为. 最后一步用查的泊松分布表得到.例 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100 000元的赔偿.据生命表知这类人的年死亡率为0.001.试求保险公司在这项业务上(1)亏本的概率；(2)至少获利500 000元的概率.解 记=“10 000名投保人中在一年内死亡的人数”，则b(10000,0.001)，又保费收入为 (1)易见，事件“亏本”=“”=“”,这里=10000已充分大，=0.001也是足够小.于是，由泊松定理可取，做近似计算，所求概率为 .其中，倒数第二步用查的泊松分布表得到.(2)注意到，事件“至少获利50万元”=“”=“”，于是至少获利50万元.其中，最后一步用查的泊松分布表得到.例2.