客观合理的评价学生综合学习情况的数学模型

1、合肥学院第六届数学建模竞赛参 赛 论 文 团队编号： 选择赛题： 【A】 【B】注：用2B铅笔将所选择的题目涂黑 论文题目：客观、合理的评价学生学习状况 参赛队员个人信息：姓名性别系别班级学生证号签名丁学明男数理系10级数学与应用数学(1)班1007021017汪於先男数理系09级数学与应用数学(1)班0907021042张 跃女数理系09级数学与应用数学(1)班0907021038注：前五栏为四号宋体，最后一栏用黑色中性笔签名。客观、合理的评价学生学习状况摘要：测试成绩对于学生、教师和教育管理者都很重要。传统的对学生成绩的评价，只是单纯根据学生的“绝对分数”或者“绝对排名”作为评价，这种评价

2、方法只能体现量化出学生的基础，而不能体现量化出学生学习的稳定性、潜力、变化趋势等等指标。随着教学改革的不断深人, 科学评价教学质量极为重要。考试是检验教学质量的重要手段。然而, 考试成绩能否真实地反映教学质量和学生水平试题是否科学、准确, 它们在多大程度上是有效的和可靠的,但还是局限的，有失公允的。本文通过科学合理的分析评价方法，不再单纯依据学生的“绝对分数”评价学生的学习状况，对学生学习状况做出全面、客观、合理的整体评价。问题一：对于全面、客观、合理的评价学生的学习状况，我们采用了二个模型：1、模糊层次分析模型：首先，为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，学生每个学期的成绩和进步情况。通过

3、模糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为：接着利用模糊层次分析方法得出学生学习状况的综合评定指标如下：2、 成绩标准化模型：采用对数变换将负偏态的成绩分布正态化，并用Matlab进行了正态检验。从而学生成绩的差距分布更为合理，成绩偏低的学生变换后将处于中等位置，得到适当的鼓励，改变了负偏态分布中较多学生成绩集中在高分段或低分段的现象。然后，将正态分布归一化为标准正态分布，消除每个学期评价考核体系的不稳定性因素，得到每个学生各学期的“有效成绩”。并基于有效成绩提出了等级评定子模型，确定了等级分数线，更清楚的表明了每个学生在整体是的位置。问题二，要求对所有同学的成绩进行总体分析。根据对分析

4、模型的总结，运用描述统计分析的方法，经过Matlab处理得到各学期分数统计直方图和其正态分布拟合曲线，并对结果进行正态分布检验。通过结果显示，我们得知，这612名学生的整体成绩近似服从正态分布。通过建立的模型，进行求解时，采用计算机抽样的方法，进行模型算例的计算，得到对不同的学生的综合评价结果，有的同学总体成绩较高，但相对不稳定，总体评价为良好，并预测未来成绩仍然会有一定的波动；有的同学进步较大，但基础较差，综合评价分析的结果也是良好，预测未来成绩可能还会有较大幅度的提高；还有总体成绩很一般，但一直在退步，且退步的幅度也比较大，综合分析评价的结果为差，并预测在未来仍可能有继续下降的趋势等多种情

5、况。关键词：模糊层次分析 成绩标准化 统计分析 MATLAB问题重述现行的评价方法相对比较局限、主观、有失公允，只能对学习基础好的学生产生激励作用，而不能对所有学生尤其是后进学生起到激励作用，这种评价弊端开始被越来越多的人关注。 评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。附件给出了612 名学生连续四个学期的综合成绩。结合附件所给的数据，用数学建模的方法，对附件所个的学生

6、做评价并排序。并根据你的评价结果对附件所给的学生做聚类或其它分析。问题分析当代素质教育体制下，评价学生的素质只是根据“绝对分数”，这种方法对于一些学习较差但仍努力学习的同学不免是一种打击，因此，不能很好的反映一个学生的综合学习状况。怎样正确地、科学地评价学生考试成绩, 对于学校教学工作至关重要。想要客观、合理的评价学生的综合学习状况，首先要进行综合的学习状况分析，对于问题二，参考所给数据，由于数据为离散性的，且数据较多，并且由实际经验可预知，每学期的成绩分布可能为正态分布。因此，对数据进行有关的处理，运用Matlab对其进行直方图的统计以及正态曲线的拟和，并进行正态分布检验，通过结果，分析学生

7、的学习状况。之后，对学生的学习状况进行客观、合理的综合评价，针对这一问题，本文采用两种评价方法为：模糊评价和动态成绩评价。模糊评价中，对所给出的数据进行相关处理，通过影响学生学习状况的主要因素（即：标准分，标准差，进步率），来对学生进行评价，对因素进行相关权重，并对每个因素进行相关处理分析，最终可以得到评价向量。动态成绩评价中，通过对“绝对分数”和基础差异因素进行动态求和，得到学生的最终综合的动态成绩，根据此成绩对学生进行综合评价。求解过程中，由于有零分数据的存在，且数据组数目相对于异样数据较大，对于异样数据进行排除处理，总体情况不会受到影响。问题假设1、在过去四学期以及未来的两学期的考试中不

8、会有人作弊。2、附件中说给数据中的异样数据排除后，整体情况不会发生变动。3、每个学生都处于一个变动的状态，在这一状态下，变化幅度快慢的变化是相对渐变的，不会出现骤变的现象，并且是有规律可循的。3、在未来的两学期内，学生数量不会有较大的变化，从而保证整体情况的稳定性，使得对总体的评价预测不会发生较大的偏差。学校基本的教学基础条件不会发生很大规模的改变，即不会增强或减少师资力量教学设施等，保证不会存在整体教学水平的变动而对个体的成绩产生较大的影响。4、数据拟和曲线反映情况准确、可靠。5、学生的学习情况是连续的，不存在休学，缺考等状况。符号说明 学生第学期的成绩 学生每学期的进步程度 学生的综合评定

9、指数 为实际学习成绩 为学习成绩进步度 表示第个学生第学期的成绩 表示第个学生第学期的进步度模型的分析、建立与求解问题一 ：评价学生的学习状况模型一：模糊层次分析模型1. 模型准备：模糊层次分析法采用0.10.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足一致性条件，无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：(1) .建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：其中表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关

10、系，采用0.1-O.9标度给予数量表示，且=1。(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵。记做变换，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。(3). 根据，推导出各因素权重值。(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。(5).根据考评结果得出优劣次序。 2. 模型建立：3. (一).确立评价指标体系。将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准则层，以此建立如下表所示递节层次结构。表1 学生学习状况评价指标体系目标层准则层指标层学生学习情况综合评价A学生实际成绩第一学期成绩第二学期成绩第三学期成绩第四学期成绩学生成绩进步情况第一学期进步度第一学期进步度第一学期进

11、步度(二).构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：A- B的优先关系矩阵： A-B模糊一致矩阵：-C的优先关系矩阵： 模糊一致矩阵： 的优先关系矩阵： 的模糊一致矩阵：由模型准备中的步骤（3）中的计算公式，我们取a=(n-1)/2,可以算的B层相对于A层，更因素权值为,C层相对于B层，各指标相对应上层相应因素的权值分别为：，（三）.将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重如下表所示： 准则 各指标 指标 0.4 0.6 权重 0.2000 0.0800 0.2333 0.0933 0.2667 0.1067

12、 0.3000 0.1200 0.3000 0.1800 0.3000 0.1800 0.4000 0.2400对于学生学习状况的综合评定定量表示如下：（四）.再由各项指标结合附件中的数据以前20个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表： 由上表的计算结果可看出，5号同学的综合得分最高，为33.754，说明其学习状况在这20名同学中最好，而且其进步度逐渐增大，说明其学习越来越努力，成绩不断在提高。而8号同学的综合得分最低且为7.889，说明他在这20名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行

13、综合评定，来说明他们的学习状况。优点：模糊层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。缺点：此方法仍一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定有待进一步的改进。模型二：成绩标准化模型2.1 原始成绩的标准化为了使得学生之间成绩的差距分布更为合理，原来成绩偏低的学生经过变换后处于中等位置，从而使他们会得到适当的鼓励，树立信心，不断进步，并改变负偏态分布中有较多同学集中在高分段或低分段的情况，激励成绩较低的学生努力学习取得更好的成

14、绩，有必要将负偏态分布的学生成绩通过数学手段变换为正态分布，而且变换成正态分布后，还会对数据处理带来极大的方便。由于每个学期的评价体系存在一定的波动，例如考核中不可避免的难易程度的变化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性。例如某学生第一学期的成绩为82 分，排名103 位。而第二学期为85 分，但是考虑到总体情况，第二学期考核偏易，排名112 位，导致该学生排名比第一学期下滑。为了消除这些学期之间的差异，为此将正态分布再经过变换为标准正态分布，使得同一学生在不同学期的成绩具有更可靠的可比性。由此我们最终得到了标准化的成绩，称之为“有效成绩”，并运用该成绩对学生的学生状况进行评价。

15、下面讲述如何将原始成绩变换为标准化的成绩。第一步：原始成绩的正态化及其检验假设(i=1,2,612) 为612个学生的某一学期的原始成绩,由将偏态分布变换为正态分布的对数变换法，令：此时这些学生的变换成绩yi 满足正态分布。由于该函数是单调递减函数，原始成绩高的反而变换成绩低，为了与传统习惯保持一致，再经过下述变换 ， 此时的为正态化之后的成绩。从图3的频次直方图可以看出基本符合正态分布。为了进一步验证成绩分布是否为正态分布，我们用matlab进行了正态性检验，检验结果如图4所示，从图中可以看出实际观测值与期望值在中央横线的一段，坐标点落在中央横线附近，在中央横线的两端则有一定的偏离，但绝大部

16、分偏离值均小于0.05，仅有个别点偏离较大。可见，学期14 的成绩呈现正态分布。图3 的频次直方图图4 四个学期的正态检验图第二步：将正态分布标准化由于已是正态分布，因而可由正态分布转化为标准正态分布的相关公式，将转化到服从标准正态分布，得： 定义有效成绩： i=1，2，612 其中均值为， 方差为2 =。此即我们所定义的有效成绩。下表是我们应用EXCEL，由四学期原始成绩计算的有效成绩(由于篇幅有限成绩列表均只列出部分成绩，计算过程 及其它见附件)。图4为有效成绩的频次分布直方图，可以看出它已很好的符合正态分布。表2：有效成绩学生序号学期1学期2学期3学期4总分10.6524554-0.14

17、51857090.0196864720.0497142740.5766720.1965128-0.2937509630.893424606-0.2098942090.5862923-1.152195-1.4502229780.679121693-0.834160597-2.7574641.25424850.9494844990.2731271430.5915252063.06838550.25671820.9353728050.424352450.9882841682.60472860.5486194-1.0135578730.209256812-0.471843181-0.727526100

18、.8955590.5074742410.1790072360.9804099052.562456111.99943091.6969433821.0353278580.5429677565.27467612-1.666376-0.3046388740.3161521941.600975952-0.05389 此时应用有效成绩已经能够对学生的学习情况进行公平、合理的评价，因为原始分数没有比较的参照点，故而不可比。而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准，以标准差作为单位，而且它的基本形式都是平均数为零、标准差为1。因而无论不同学期成绩的平均分和标准差多么不同，一经转换为均值为零和标准差为1的标

19、准分数，则不同学期成绩所处的相对地位是平行的，从而有了可比性。这时学生学习状况的评定不再是简单的绝对分的比较，名次的提高，也即进步成为了决定学生成绩的重要因素。从这些数据可以看出，有的同学总分排名较后，可有效成绩排名却来了个咸鱼大翻身，一跃进入前列，而且，有的同学标准分总分甚至出现负分，这就说明该考生的分数低于平均分。 图5 的频次直方图下面为了能够直观的了解不同学生成绩在整体中的位置，我们进一步对成绩进行等级评定。2.2 基于有效成绩的等级评定在将原始成绩化为符合标准正态分布的数据之后，我们将建立一种评分制度标准化分数为基础的成绩标准化评价模型。服从正态分布的数据概率曲线具有对称性，其数据按

20、概率落人一定范围内，如下表所示。范围概率38%68%86%90%95%99%：为总体算术平均值 ：为总体标准差 实际教学中，对考试成绩约定俗成地选用90分、80分、70分、60分作为等级分数线，评定成绩的优秀、良好、中等、合格与不台格。我们根据落入和内外的概率来确定成绩的等级，取落人内的概率为68，落入外的概率为10 ，落入余下的概率为22，则可确定优秀、不合格各占50 ，良好、台格各占11，中等占68。各等级的对应分数线为概率等级分数线（DP），经对数变换的成绩数据还原成原始分数，即为各等级的分数。经计算可得各等级分数线表，如下所示：学期等级学期1学期2学期3学期4优秀（5%）88.1388

21、.3688.5088.90良好（11%）80.2582.3483.0084.00中等（68%）68.2569.5470.0070.68合格（11%）58.3058.0059.4659.50不合格（5%）58.30以下58.00以下59.46以下59.50以下以第一学期的为例，原始分数高于88.13的认定为优秀，而低于60.30的认定为不合格，但在这种评定标准中优秀与不合格所占比例较小，大部分的人集中在中等层次，从来相对于一般的评定标准更多的人上升到了合格或中等。但这一评定标准是建立在整体成绩为正态分布的基础上的，从而当出现因为试卷人为的过于简单而了导致大量学生的成绩偏高时，运用该评定方法则可以

22、提高不合格或合格的分数线，维持整体的正态分布，从而保证了评价的合理、公平。问题二：学生成绩总体分析参考附件数据，运用Matlab对数据进行图形处理，得出下图:各学期分数统计直方图和其正态分布拟合曲线 学期一 学期二 学期三 学期四由上图可知，四学期的成绩整体符合正态分布，对其进行正态性检验：学期分数分布正态性检验图 学期一 学期二 学期三 学期四由上图可知，这612个离散点非常靠近倾斜直线段，图形为线性的，因此可得出结论：学生的成绩整体近似服从正态分布，即“中间大，两头小”，根据教育学和统计学相关理论，学生的成绩应接近正态分布，即靠近平均成绩的学生比较多，成绩特别优秀或者特别差的人很少，这就是

23、621名学生成绩的整体成绩情况。模型评价问题一中，模型一：模糊层次分析法模糊层次分析法可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。但仍在一定程度受主观因素的影响，各项指标权重的确定方式有待进一步的改进。模型二：成绩标准化模型通过标准化过程，使学生成绩呈正态分布，让一些成绩靠后的学生能进入中间水平，同时各个学期的成绩经过标准化之后具有了可加性，相加的最终结果能正确的反映学生的整体水平，而不是在绝对分数中只靠几次突出的成绩就能提高得到好的名次，从而更加公平、合理。但正态化的方法还要进一步探讨，从而让结果能有更好的正态性。问题二中，采用描述统计的方法对学生成绩的总体分布分析时，发现成绩分布接近正态分布，并且进