导数压轴题中的零点问题找点技巧和常见模型

1、Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班导数大题的常用找点技巧和常见模型【引子】（2017 年全国新课标 1理21）已知 f ( x ) = ae 2 x + ( a - 2)e x - x .（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）若 f ( x ) 有两个零点，求 a 的取值范围.解析：（1） f ( x ) = 2 ae 2 x + ( a - 2 ) e x - 1 = ( 2e x + 1)( aex -1)若 a 0 ，则 f ( x ) 0 ，令 f ( x ) = 0 ，得 e x = 1a , x = ln 1a .11当 x ln时， f ( x )

2、 ln时， f ( x ) 0 ，所以 f ( x ) 在 ln, + 上递增.aa11综上，当 a 0 时， f ( x ) 在 R 上递减；当 a 0 时， f ( x ) 在 -, ln 上递减，在 ln, + 上递增.aa（2） f ( x ) 有两个零点，必须满足 f ( x )min 0，且 f ( x )min1 11= f ln= 1 - ln 0 .aaa ( )1g ( x ) = -1 - x= 1 - x - ln x 单调递减.构造函数 gx0 . 易得 1，所以 gx又因为 g (1) = 0 ，所以1 -111- ln 0 g 1 0 a 1 .aaa a下面只要

3、证明当 0 a 0 时， x ln x .事实上，构造函数 h ( x ) = x - ln x ，易得 h ( x ) = 1 - 1x ， h ( x ) min = h (1) = 1 ，所以 h ( x ) 0 ，即 x ln x .当 0 a 0 ，e 2ee23 - a 3 2 3 33 3f ln= a - 1 + ( a - 2 ) - 1 - ln - 1 =- 1 - ln- 1 0 ，aa a a a a13 - a11 13 - a 其中 -1 ln，所以 f ( x ) 在 -1, ln 和 ln, ln 上各有一个零点.aaaa aa故 a 的取值范围是 ( 0,1

4、) .注意：取点过程用到了常用放缩技巧。全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班2 xx2 xxxxx3 - a 3一方面： ae+ ( a - 2 ) e- x 0 ae+ ( a - 2) e- e 0 ae+ a - 3 0 e x ln -1 ；a a另一方面： x 0 ( a - 2 ) e x - x 0 x = -1（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）， ln 1 + x x ，xln x x -1ln x 1)， ln x 11 ( 0 x 1) ，（放缩成双撇函数） ln

5、x x - x -2x 2x 1()1()xxln x 1，ln x x -0 x 1，（放缩成二次函数） ln x x 2 - x ， ln (1 + x ) x - 12 x 2 ( -1 x 0)12()2x（放缩成类反比例函数） ln x 1 -， ln x x -1( 0 x 1) ， ln ( x + 1) ( x x -1( x 1) ， ln (1 + x ) ( x 0)1+ xx +12 + x第二组：指数放缩（放缩成一次函数） e x x +1 ， e x x ， e x ex ，（放缩成类反比例函数） e x 1( x 0) ， e x - 1 ( x x2 ， e x

6、 1 + x + 2 x 2 ( x 0) ，第三组：指对放缩e x - ln x ( x + 1) - ( x - 1) = 2第四组：三角函数放缩sin x x 0)， sin x x - 1 x2 ，1 - 1 x 2 cos x 1 - 1 sin2 x .222y = ln x ， y = ex-1 -1， y = x 2 - x ， y = 1 - 1x ， y = x ln x .全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班常用的找点技巧方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.【示例】证明：当 0 a 0

7、（大于 e ）， f ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.a aa因为 ln x x -1 ，要使得 ln x - ax 0 ，只需要 x - 1 - ax 0 ，即 x 1 -1 a ，考虑到 0 a 1e ，所以 1 -1 a所以左侧可取：f (1) = - a 0 ，1 = ln1-a1- 1 -a= 0f ；- a- a 1- a 1 - a 1- a 11e 1, ，e -1 另一方面：因为 ln x 1) 或 ln x x - 1x ( x 1) ，要使得 ln x - ax 0 ，只需要 x - ax 0 ，即 x a12 ，所以右侧可取：11111f = ln- -

8、a -= - a e 时， f ( x ) = e x - ax 有两个零点.分析：极值点为 x = ln a （大于1 ）， f (nl a ) a= (1 nl- a 0) 0 ， f ( 0 ) = 1 0 ， f ( -1) =1+ a 0 .= eaf e a 右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：f ( 2 ln a ) = e 2 ln a - 2a ln a = a ( a - 2 ln a) 0 ， f ( a ) = e a - a2 0 .方法三：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.【示例】证明：当 a 0 时， f ( x ) = ( x - 2

9、) e x + a ( x -1)2 有两个零点.分析：极值点为 x = 1 ， f (1) = -e 0 ，难点是在 1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小越容易成功，要使得 ( x - 2 ) e x + a ( x - 1) 2 0 ，即 a ( x - 1) 2 ( 2 - x ) ex ，只需要满足a ex( x - 1) 2 2 - x ，即取 b 满足 b 1 - 5 且 b 0 .2全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化：优化：弱化 ( x - 1) 2

10、 2 - x 的解，也就是取 b -1 且 b 0 .优化：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即a2 ex，2 ( x - 1) 2 2 - x所以，取 b 满足 b 0 且 b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷标准答案中找点的思路）方法四：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.【示例】证明：当 0 a 2e 时， f ( x ) = a + x ln x 有两个零点.分析：极值点为 x =1 1 = a -2 0 ，难点是在1（接近 0）， f 1 的左侧找一个函数值大于2e eee零的点，显然点应满足如下

11、几个条件：始终为正数；既能开根，也能取对数；当 a 越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零.从条件来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：444-= a -a a -a= a - a = 0 .f ea 24eaa2方法五：局部构造. 成功关键：舍去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作.【示例】证明：当 -1 a 0 时， f ( x ) = a ln x + 1 - 1x 有两个零点.分析：极值点为 x1（大于 1），且 f1a ln

12、11 aa11 1a0 ，aaaa又 f 10 ，所以只需在1的右侧找一个函数值小于 0的点.即找到一个 x1使得 a ln x + 1 -1 1e 时，无零点.f ( x ) =1- a ， f ( x )max =1= ln1- 1 0 .f xa a（2） a = 1e 时，1 个零点.f ( x ) = 1x - 1e ， f ( x ) max = f ( e ) = ln e - 1 = 0 .（3）当 0 a 1e 时，2 个零点.f (1) = - a 01 = ln1-a1- 1 -a= 0，其中1 1 0 .1 11 11121( x 1)）f = ln- - a -= -

13、 a e e .（用到了 ln x 0 ，单调递增.f (1) = - a 0 ，a +1f ea1 a +11 a 1 1= a +- aea a +-= 1- a + 0 .e2e2aa a f ( e a ) = a - ae a = a (1 - e a ) 0 .【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： f ( x ) = ln x - ax ）：1. 讨论 f ( x ) = ln x - mx 的零点个数（令 x = t ， m2 = a ）；2. 讨论 f ( x ) = x - m ln x 的零点个数（令 m1 = a ）；讨论 f ( x ) =ln x -

14、mx 的零点个数（考虑 g ( x ) =f ( x )）；3.xx讨论 f ( x ) =lnx- mx 的零点个数（考虑 g ( x ) =f ( x )33x，令 t = xm = a ）；4.2，2x5. 讨论 f ( x ) = ln x - mx2 的零点个数（令 t = x2 ， 2m = a ）；6. 讨论 f ( x ) = ax -e x 的零点个数（令 e x = t ）.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班经典模型二： y = ex 或 y = exxx【例 2】讨论函数 f ( x ) = e x - ax

15、 的零点个数.（1） a 0 ， f ( x ) = e x - ax 单调递增.111且 f ( 0 ) = 1 - a 0 ， f = ea- 1 0 恒成立；（3） 0 a 0 ；（4） a e 时，2 个零点.1 1( )= e - a a(e - 2) 0 .2 ln af = e - 1 0a， f 1 a 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： f ( x ) = e x - ax ）：1. 讨论 f ( x ) = e 2 x - mx 的零点个数（令 2x = t ， m2 = a ）；2. 讨论 f ( x ) = e x - m 的零点个数（去分母后与 1

16、 等价）；x ex3. 讨论 f ( x ) = e x - m x 的零点个数（移项平方后与 1 等价）；4. 讨论 f ( x ) = e x + mx 2 的零点个数（移项开方后换元与 1 等价）；5. 讨论 f ( x ) = e x -1 - mx 的零点个数（乘以系数 e，令 em = a ）；6. 讨论 f ( x ) = lnxx - mx 的零点个数（令 x = et ，转化成 2）7. 讨论 f ( x ) = e x +1 - mx + m 的零点个数（令 x - 1 = t ， em2 = a ）；全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成

17、都高二、高三寒假班、春季班经典模型三： y = x ln x 或 y = xex【例】讨论函数 f ( x ) = ln x - a 的零点个数.xf ( x ) = x x+2 a 0 ， f ( x ) = ln x - ax 单调递增.f (1) = - a 1 - 1 +1 a - 1+a a = 0 .（2） a = 0 时，1 个零点（ x0 =1 ）.（3） a 0（4） a = - 1e 时，1 个零点.=1. f ( x )min =1= ln1+ 1= 0x0f ee e（5） - 1e a 0 ，- - a -= - a 0， f = -1 - ea 0 ，aa-a e 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： f ( x ) = ln x - ax ）：1. 讨论 f ( x ) = 1x - a ln x 的零点个数；2. 讨论 f ( x ) = m +ln x 的零点个数（考虑 g ( x ) =f ( x )，令= t ）；xxx3. 讨论 f ( x ) = x - eax 的零点个数（令 e x = t ）；4. 讨论 f ( x ) = ex - ax 的零点个数；全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都