小波变换基本原理

1、第五章 小波变换基本原理问题 小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ 尺度 小波发展史1910 Harr小波80年代初兴起 Meyer小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析WT无须尺度和小波函数滤波器组实现90年代初 Daubechies 正交小波变换90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换小波构造？ 小波变换与短时傅里叶变换比较 a适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT（要容许性条件） 小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies正交小波构造 MRA的滤波器实现 小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1 连续小波变换一

2、CWT与时频分析 1.概念： 2.小波变换与STFT用于时频分析的区别 STFT小波变换基函数时频轴平移+调制（线性频轴）平移+伸缩 尺度对数频轴基函数特征包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定时频分辨率，mT,w附近附近适用情况渐变信号突变信号轴spectrogramscalogram结果复数 实数 3.WT与STFT对比举例（Fig56, Fig57）二WT几个注意的问题 1.WT与选择有关 应用信号分析还是信号复原 2.母小波必须满足容许性条件 隐含要求 具有带通特性 利用可推出反变换表达式 3.CWT高度冗余（与CSTFT相似） 4.二进小波变换（对平移量b和尺度进行离散化） 5.小波变

3、换具有时移不变性 6.用小波重构信号 中心问题：如何构建对偶框架 如何构建正交小波？5.2 分段逼近t很显然采样率越高，越小，逼近误差越小，采样率无误差学习目的理解MRA一分段逼近的引入 PAM信号近似 ADC 1t1 1.采样率增大的尺度体现 用平移的版本对S(t)作近似 逼近函数 尺度 一般式： 11111111 2.两尺度函数间关系 张成空间满足 两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入表细节 发现 尺度 4.推广m=-1m=0m=1m=2 包含信息量决定 形成最简单的MRA二分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 小波表示 Harr小波 2.H

4、arr小波特性 同一尺度平移正交性：同尺度m也满足 作变量替换即可证明 尺度，平移均正交 分段逼近的推广MRA一多分辨率分析含义 由内空间组成 若空间尺度函数平移正交： 则为空间尺度函数,任一函数S(t)可用 平方可积空间即为 问题：Harr小波构成最简单MRA 如何构造选其它具体的MRA体系二正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 低通滤波器与尺度关系 Harr小波满足 频域反映 令 含义 a. b根据MRA， c. 2.QMF的引入 的尺度正交关系的频域反映 频域也正交 两边对n求和 利用泊松求和公式 （令） 有 即： QMF正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系 对k分奇偶讨论 含义

5、 a. b.功率互补条件半带条件 01 3.正交小波滤波器满足的条件 频域关系 根据可推出 上式的解为 时域关系 令 易证 小波滤波器同样满足两尺度关系 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示 5. 正交补 例：求Harr小波的频域尺度函数和小波函数 解： 其频域幅值图如Fig513所示 可发现其缺陷在于波纹太大 （原因时域紧支撑） 例：理想LPF也构成正交小波 解： 三有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment） 满足 母小波平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则频域衰减越快越平滑 消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity） 定义：小波的

6、连续可导次数 正则度为n的小波具有（n+1）阶消失矩（必要条件）四问题讨论 1.根据MRA理论 小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由决定 不关心其解析表达式滤波器组 2.MRA理论 离散小波的数值实现5.4 小波变换与数字滤波器组一时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现 令 当m较小时，不为整数 2.第一代小波变换：根据MRA理论，由数字滤波器组实现（Mallat算法） （根据尺度函数和小波函数） 3.第二代小波变换：Swelden算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现二Mallat算法 1.两个近似假设 由采样数据直接近似 当分辨率m足够高时 故可直接用样本数

7、据取代 2.Mallat算法 分解算法 a.推导 同理 b.滤波器组实现（滑动内积+下采样） 重构算法 a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出） b.滤波器组实现（上采样+滤波）S(i) 5.5 小波变换的应用一小波地位 小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测 傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄三降噪应用 1.适用场合 经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 宽带噪声 小波去噪 2.滤波效果 经典滤波：丢失波形尖锐处信息 小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段 传统方法：Prony参数建模法 小波降噪小波变换系数阈值比较反变换信号输出分解重